MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

152 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
3.2 Kahekordne integraal ristkoordinaatides
Definitsioon 1. Piirkonda D xy-tasandil nimetatakse regulaarseks, kui tema
raja Γ koosneb l~oplikust arvust pidevatest joontest tüüpi
y = ϕ(x) v~oi x = ψ (y) .
Definitsioon 2. Regulaarset piirkonda
D = {(x, y) | (a ≤ x ≤ b) ∧ (ϕ (x) ≤ y ≤ ψ (x))} , (3.2.1)
kus funktsioonid ϕ(x) ja ψ(x) on mingid pidevad funktsioonid l~oigul [a, b] ,
nimetatakse normaalseks piirkonnaks xy-tasandil (x-telje suhtes).
Analoogiliselt defineeritakse normaalne piirkond
y-telje suhtes.
Eksisteerigu integraal
D = {(x, y) | (a ≤ y ≤ b) ∧ (ϕ (y) ≤ x ≤ ψ (y))} (3.2.2)
∫∫
D
f(P )dS, (3.2.3)
kus D on regulaarne piirkond. Uurime selle integraali arvutamise kolme juhtu.
1 0 Olgu D = {(x, y) : (a ≤ x ≤ b) ∧ (c ≤ y ≤ d)} , st D on ristkülik, mille küljed
on paralleelsed koordinaattelgedaga
y
✻
y = d
y j
η j
y j−1
x = a
D i,j
P (ξ i , η j )
x = b
d y m
b = x k
c y 0
y = c
a = x 0
x i−1
ξ i
x i
✲
x
Integraali (3.2.3) olemasolust järeldub, et vastava integraalsumma piirväärtus ei
s~oltu piirkonna D osapiirkondadeks jaotamise viisist ja punktide valikust osapiirkondades.
Kasutame seda järgnevas. Olgu a = x 0 < x 1 < . . . < x k−1 < x k = b
ja c = y 0 < y 1 < . . . < y m−1 < y m = d. Jaotame ristküliku sirgl~oikudega
{(x, y) | (x = x i ) ∧ (c ≤ y ≤ d)} (i = 1, . . . , k − 1)