MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.11. ORTOGONAALSED POLÜNOOMID 117
Järgmisena näitame, et elemendid cos kx ja sin mx on ortogonaalsed
〈cos kx, sin mx〉 =
[
=
∫ π
−π
cos kx sin mx dx =
integrand on paaritu funktsioon,
rajad sümmeetrilised nullpunkti suhtes
Näitame, et elemendid cos kx ja cos mx (k ≠ m) on ortogonaalsed
〈cos kx, cos mx〉 =
[
=
= 2
=
=
∫ π
−π
]
= 0.
cos kx cos mx dx =
]
integrand on paarisfunktsioon,
=
rajad sümmeetrilised nullpunkti suhtes
∫ π
0
∫ π
Analoogiliselt saame k ≠ m korral
〈sin kx, sin mx〉 =
=
=
cos kx cos mx dx =
(cos (kx − mx) + cos (kx + mx)) dx k≠m
=
0
π
π
sin ((k − m) x)
sin ((k + m) x)
k − m ∣ + k + m ∣ = 0.
∫ π
−π
∫ π
sin kx sin mx dx = 2
0
∫ π
0
0
sin kx sin mx dx =
(cos (kx − mx) − cos (kx + mx)) dx k≠m
=
0
π
π
sin ((k − m) x)
sin ((k + m) x)
k − m ∣ − k + m ∣ = 0.
Järelikult on 2π -perioodiline trigonomeetriline süsteem (2.11.3) ortogonaalne
l~oigul [−π, π] . Lisaks leiame elementide 1, cos kx ja sin kx skalaarruudud. Leiame
〈1; 1〉 =
∫ π
−π
0
1 · 1 dx = 2π,
0
ja
〈cos kx, cos kx〉 =
〈sin kx, sin kx〉 =
∫ π
= 1 2
cos kx cos kx dx = 1 2
(
)∣
sin 2kx ∣∣∣
π
x + = π
2k
0
−π
∫ π
= 1 2
sin kx sin kx dx = 1 2
(
)∣
sin 2kx ∣∣∣
π
x − = π.
2k
0
−π
∫ π
0
∫ π
0
(1 + cos 2kx) dx =
(1 − cos 2kx) dx =