MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

64 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
Ülesannetes 67–68 leidke ilmutamata funktsiooni z = z(x, y) esimest järku osatuletised.
67. z 3 + 3x 2 2y − 6xz
z = 2xy. V: z x =
3z 2 + 3x 2 , z y =
68. f(x − y + z, xyz) = 0. V: kui f (u, v) , siis
z x = − f u(x − y + z, xyz) + yzf v (x − y + z, xyz)
f u (x − y + z, xyz) + xyf v (x − y + z, xyz) ,
z y = f u(x − y + z, xyz) − xzf v (x − y + z, xyz)
f u (x − y + z, xyz) + xyf v (x − y + z, xyz) .
69. Näidake, et seosest
f(cx − az, cy − bz) = 0,
2x
3z 2 + 3x 2 .
kus ϕ (u, v) on suvaline diferentseeruv funktsioon, järeldub seos
az x + bz y = c.
70. Näidake, et f(x, y, z) = 0 ⇒ x y · y x = 1 ∧ x y · y z · z x = −1.
71. Näidake, et {
y = f(x, z)
g(x, y, z) = 0
⇒ dy
dx = f xg z − f z g x
.
f z g y + g z
72. Näidake, et
{ f(x, y, z) = 0
g(x, y, z) = 0 ⇒ dy
dx = (f xg z − g x f z )/(g y f z − f y g z ).
Ülesannetes 73–75 leidke funktsiooni esimest järku täisdiferentsiaal.
73. u = ln √ x 2 + y 2 x dx + y dy
. V: du =
x 2 + y 2 .
74. v = arctan y xdy − ydx
. V: dv =
x x 2 + y 2 .
75. u = x y / y z .
V: du = x y−1 y 1−z dx + ( x y y −z ln x − zx y y −z−1) dy − x y y −z ln ydz.
Ülesannetes 76–78 leidke funktsiooni esimest ja teist järku täisdiferentsiaalid.
dx − dy + dz
76. w = ln (x − y + z) . V: dw = ,
x − y + z
d 2 w = − (dx)2 − (dy) 2 − (dz) 2 + 2 dxdy − 2 dxdz + 2 dydz
(x − y + z) 2 .
77. u = √ x 2 + y 2 x dx + y dy
. V: du = √
x2 + y , 2
d 2 u = y2 (dx) 2 − 2xy dxdy + x 2 (dy) 2
(√(x 2 + y 2 ) 3 ) .
78. u = xyz. V: du = yz dx+xz dy+xy dz, d 2 u = 2z dxdy+2y dxdz+2x dydz.
Ülesannetes 79–81 leidke ligikaudu, kasutades täisdiferentsiaali.
79. ln( 3√ 1.03 + 4√ 0.98 − 1). V: ≈ 0.005.