MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

3.8. KOLMEKORDSE INTEGRAALI RAKENDUSED 189
siis
I O = (I x + I y + I z ) /2. (3.8.8)
Lause 1. Kui keha on xyz-ruumi piirkonnas Ω ja keha tihedus ρ(x, y, z) ∈
C (Ω) , siis selle keha mass m on leitav valemi (3.8.2) abil, massikeskme koordinaadid
x c , y c ja z c valemite (3.8.3) abil ning inertsmomendid I x , I y , I z ja I O
valemite (3.8.4) – (3.8.8) abil.
Näide 2. Olgu keha määratud xyz-ruumi piirkonnaga Ω, mis on antud
v~orratustega (vt Näidet 1)
x 2 + z 2 ≤ 1, y 2 + z 2 ≤ 1, y ≤ x, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.
Olgu ρ(x, y, z) = z keha tihedus. Leiame keha massi m, massikeskme koordinaadid
x c , y c ja z c ning inertsmomendid I x , I y , I z ja I O .
Kasutame Lauset 1
m (3.8.2)
= ∫∫∫
0
Ω
0
ρ (P ) dV =
1∫ x∫
dx dy
0
0
√
1−x 2
∫
0
zdz =
= 1 1∫ x∫ (
dx
) 1 − x
2
dy = 1 1∫ ( ) x − x
3
dx = 1 2
2
8 ,
0
(3.8.3)
x c = 1 ∫∫∫
m Ω
1∫ x∫
xρ (P ) dV = 8 dx dy
0
0
√
1−x 2
∫
0
xzdz =
1∫ x∫ (
= 4 dx
) 1∫ (
x − x
3
dy = 4 x 2 − x 4) dx = 8 15 ,
0
0
0
(3.8.3)
y c = 1 ∫∫∫
m Ω
1∫ x∫
yρ (P ) dV = 8 dx dy
0
0
√
1−x 2
∫
0
yzdz =
1∫ x∫ (
= 4 dx
) 1∫ (
y − yx
2
dy = 2 x 2 − x 4) dx = 4 15 ,
0
0
0
(3.8.3)
z c = 1 ∫∫∫
m Ω
1∫ x∫
zρ (P ) dV = 8 dx dy
= 8 1∫ x∫ (
dx
) √ 1 − x
2
1 − x
3
2 dy = 8 1∫
3
0
0
0
0
0
√
1−x 2
∫
0
z 2 dz =
(
x − x
3 ) √ 1 − x 2 dx = 8
15 ,