MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

144 PEATÜKK 2. READ
∞∑
78. f(x) = cos x, a = π/2. V: (−1) k+1 (x − π/2) 2k+1
, R.
k=0
(2k + 1)!
∞∑
79. f(x) = sin x, a = π. V: (−1) k+1 (x − π) 2k+1
, R.
k=0 (2k + 1)!
80. f(x) = 1
x − 1 , a = −1. V: − ∑ ∞ (x + 1) k
2 k+1 , (−3; 1) .
k=0
k=0
∞∑
81. f(x) = ln x, a = 1. V: (−1) k+1 (x − 1) k
, [0; 2) .
k=1
k
Ülesannetes 82–88 avaldage integraal astmerea abil.
∫ 2
∞∑
82. dx. V: (−1) k 2 2k+1
0 e−x2 (2k + 1) k! .
83.
∫ sin x
x dx. V: C + ∞ ∑
k=0
84. ∫ ln ( 1 − 2x 3)
x 2 dx. V: C − ∞ ∑
(−1) k x 2k+1
(2k + 1)! (2k + 1) .
k=1
2 k x 3k−1
k(3k − 1) .
85. ∫ 1 − cos ( 3x 2)
∑
2x 3 dx. V: C + ∞ (−1) k+1
k=1
∫ 0.5
86. ln (3 + 3√ x) dx. V: ln √ ∑
3 + ∞ 0
3 2k x 4k−2
2 (4k − 2) (2k)! .
(−1) k+1 1
k=1 k (k/3 + 1) 3 k 2 . k/3+1
∫ sh (2x)
∑
87. dx. V: C + ∞ 2 2k+1 x 2k+1
3x
k=0 3 (2k + 1) (2k + 1)! .
∫ 1 1 − ch (3x)
∑
88.
0
2x 2 dx. V: − ∞ 3 2k
k=1 (4k − 2) (2k)! .
89. Leidke funktsiooni arcsin x Maclaurini rida. Lähtuge seosest arcsin x =
∫ x dx
√
0
ja avaldage integraal astmerea abil. V: x + ∑ ∞ (2k − 1)!! x 2k+1
1 − x
2 k=1
2 k k! (2k + 1) .
90. Leidke funktsiooni ln (1 + x) Maclaurini rida. Lähtuge seosest ln (1 + x) =
∫ x dx
ja avaldage integraal astmerea abil.
0
1 + x
91. Leidke funktsiooni arctan x Maclaurini rida. Lähtuge seosest arctan x =
∫ x dx
0
1 + x 2 ja avaldage integraal astmerea abil. V: ∑ ∞ x 2k+1
k=0 (−1)k 2k + 1 .
Ülesannetes 92–95 leidke astmeridade abil diferentsiaalv~orrandi erilahend v~oi
üldlahend.
92. y ′ ∑
+ y = x, y(−1) = 1. V: 1 − 2 (x + 1) + 3 ∞ (−1) k (x + 1) k
.
k=2
∞∑
93. y ′ − 2y = e x 2 k+1 − 1
, y(0) = 1. V:
x k .
k=0 k!
∞∑
94. y ′′ − y ′ = 0. V: C 2 + (C 1 − C 2 ) x + C 2 (−1) k x k
k! .
95. y ′′ + 4y = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 0. V:
∞∑
k=0
k=2
(−1) k 2 2k x 2k
(2k)! .
k!