MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

1.2. FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS JA PIDEVUS 17
Enamik mitme muutuja funktsiooni omadusi on sarnased vastavate omadustega
ühe muutuja funktsiooni korral, näiteks lineaarsuse omadus
(
) (
)
lim f 1(P ) = α 1 ∧ lim f 2(P ) = α 2 ∧ (c 1 , c 2 ∈ R) ⇒
P →A P →A
(
)
⇒ lim (c 1f 1 (P ) + c 1 f 1 (P )) = c 1 α 1 + c 2 α 2 .
P →A
Samuti kehtib omadus, et punktis A piirväärtust omav funktsioon f (P ) on selle
punkti ümbruses esitatav kujul f (P ) = α + γ, kus
α = lim
P →A f(P )
ja γ on l~opmata väike suurus piirprotsessis P → A, st lim γ = 0. Seega
P →A
(
)
lim f (P ) = α ⇔
P →A
(
( ))
(f (P ) = α + γ) ∧ lim γ = 0 .
P →A
Vaatleme järgnevalt m~oningaid ainult mitme muutuja funktsioonile iseloomulikke
momente.
Definitsioon 2. Piirväärtust
lim
x 1→a 1
lim . . .
x 2→a 2
lim
x n→a n
f (x 1 , . . . , x n ) def.
=
= lim
x 1→a 1
(
(
))
lim . . . lim f (x 1 , . . . , x n )
x 2→a 2 x n→a n
nimetatakse korduvaks piirväärtuseks, st järjest v~oetud ühe muutuja funktsioonide
piirväärtusteks, kusjuures muutuja x i (1 ≤ i ≤ n) järgi piirväärtuse
arvutamisel loetakse muutujaid x k (k < i) konstantseteks.
Lause 1. Piirväärtus lim f (x, y) eksisteerib parajasti siis, kui f(x, y) → α
P →A
s~oltumata punkti P (x, y) punktile A (a, b) lähenemise viisist, kusjuures
lim
(x, y)→(a,b) f (x, y) = α ⇒ ⎧
⎨
⎩
lim lim
x→a y→b
f (x, y) = α,
lim lim f (x, y) = α. (1.2.1)
y→b x→a
Implikatsioon (1.2.1) ei ole pööratav.
T~oestus. Väite esimene osa järeldub funktsiooni piirväärtuse Definitsioonist
1. Väite teises osas kasutatakse kaht punkti P punktile A lähenemise teed.
Esiteks, punkt P (x, y) läheneb punktile A (a, b) piki murdjoont P QA. Teiseks,
punkt P (x, y) läheneb punktile A (a, b) piki murdjoont P RA. Skitseerime need