MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool
MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool
MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
188 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS<br />
3.8.2 Keha mass, massikese ja inertsmomendid<br />
Olgu xyz-tasandi piirkonnaga Ω määratud keha tihedus ρ(x, y, z). Olgu Ω<br />
jaotatud osapiirkondadeks Ω i (i = 1; . . . ; n) . Olgu P i (ξ i , η i , ζ i ) ∈ Ω i . Kui ∆V i<br />
on piirkonna Ω i ruumala, d i piirkonna Ω i läbim~o~ot ja ρ(x, y, z) ∈ C (Ω) , siis<br />
vaadeldava keha massi m defineerime kui piirväärtuse<br />
st<br />
lim<br />
n→∞, max d i→0<br />
i=1<br />
Ω<br />
n∑<br />
ρ (P i ) ∆V i ,<br />
∫∫∫<br />
m = ρ (P ) dV. (3.8.2)<br />
T~oestage, et keha massikeskme koordinaadid x c , y c ja z c avalduvad kujul<br />
x c = 1 m<br />
∫∫∫<br />
Ω<br />
xρ (P ) dV, y c = 1 m<br />
∫∫∫<br />
Ω<br />
yρ (P ) dV, z c = 1 m<br />
∫∫∫<br />
Ω<br />
zρ (P ) dV.<br />
(3.8.3)<br />
Keha inertsmomendid I x , I y ja I z vastavalt x-, y- ja z-telje suhtes on piirväärtused<br />
n∑ (<br />
lim η<br />
2<br />
i + ζi<br />
2 )<br />
ρ (ξi , η i , ζ i ) ∆V i ,<br />
ja<br />
Seega<br />
ja<br />
n→∞, max d i→0<br />
i=1<br />
lim<br />
n∑<br />
n→∞, max d i→0<br />
i=1<br />
lim<br />
n∑<br />
n→∞, max d i→0<br />
i=1<br />
Ω<br />
(<br />
ξ<br />
2<br />
i + ζi<br />
2 )<br />
ρ (ξi , η i , ζ i ) ∆V i<br />
(<br />
ξ<br />
2<br />
i + ηi<br />
2 )<br />
ρ (ξi , η i , ζ i ) ∆V i .<br />
∫∫∫<br />
(<br />
I x = y 2 + z 2) ρ (P ) dV, (3.8.4)<br />
∫∫∫<br />
(<br />
I y = x 2 + z 2) ρ (P ) dV (3.8.5)<br />
Ω<br />
∫∫∫<br />
(<br />
I z = x 2 + y 2) ρ (P ) dV. (3.8.6)<br />
Ω<br />
Kuna keha inertsmoment I O nullpunkti O suhtes avaldub kujul (miks?)<br />
∫∫∫<br />
(<br />
I O = x 2 + y 2 + z 2) ρ (P ) dV, (3.8.7)<br />
Ω
Change language