MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.2. POSITIIVSETE ARVRIDADE V~ORDLUSTUNNUSED 77
Lause 4. Kui (2.2.1) ja (2.2.2) on positiivsed arvread ja eksisteerib l~oplik
nullist erinev piirväärtus nende üldiikmete suhtest
lim
k→∞
a k
b k
= γ > 0, (2.2.4)
siis read (2.2.1) ja (2.2.2) koonduvad v~oi hajuvad samaaegselt, st
∞∑
a k ∈ c ⇔
k=1
∞∑
a k /∈ c ⇔
k=1
∞∑
b k ∈ c,
k=1
∞∑
b k /∈ c.
k=1
T~oestus. Lähtudes jada piirväärtuse definitsioonist, leiame
(
) (
)
a k
lim = γ ≠ 0 ⇔ ∀ε > 0 ∃ k 0 = k 0 (ε) :
a k
n→∞ b k
∣ − γ
b k
∣ < ε (k ≥ k 0) .
Lause 2.1.2 p~ohjal v~oime piirduda juhuga k 0 = 1. Et
a k
∣ − γ
b k
∣ < ε ⇔ −ε < a k
− γ < ε ⇔
b k
siis saame tulemuseks v~orratuste ahela
⇔ γ − ε < a k
b k
< γ + ε ⇔
⇔ (γ − ε) b k < a k < (γ + ε) b k ,
(γ − ε) b k < a k < (γ + ε) b k (k ∈ N) . (2.2.5)
Käsitleme kaht juhtu.
1 ◦ Eeldame, et rida (2.2.1) on koonduv. Olgu arv ε > 0 selline, et γ − ε > 0.
Ahela (2.2.5) esimese v~orratuse p~ohjal (γ − ε) b k < a k (k ∈ N) . Rakendame
Lauset 2. Selle p~ohjal koondub positiivne arvrida ∑ ∞
k=1 (γ − ε) b k, mis aga Lause
2.1.4 p~ohjal koondub parajasti siis, kui koondub rida (2.2.2). Seega on rida
(2.2.2) ka koonduv.
2 ◦ Eeldame, et rida (2.2.2) on koonduv. Siis koondub ka rida, mille üldliikmeks
on (γ + ε) b k . Ahela (2.2.5) viimase v~orratuse p~ohjal a k < (γ + ε) b k (k ∈ N) .
Lause 2 p~ohjal koondub ka rida (2.2.1).
Järelikult rea (2.2.1) koonduvusest järeldub rea (2.2.2) koonduvus, ja vastupidi,
rea (2.2.2) koonduvusest järeldub rea (2.2.1) koonduvus. Seega read (2.2.1)
ja (2.2.2) kas koonduvad v~oi hajuvad samaaegselt. □