MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

158 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
3.3 Muutujate vahetus kahekordses integraalis
Vaatleme muutujate vahetust
{ x = x (u, v)
y = y (u, v)
(u, v) ∈ ∆ (3.3.1)
kahekordses integraalis ∫∫ f(x, y)dxdy. Eeldame, et teisendus (3.3.1), mis teisendab
uv-tasandil asetseva piirkonna ∆ xy-tasandil paiknevaks piirkonnaks
D
D,
y
✻
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
..
.
. . . . .. .
.
. . .
.
.
.
D
✲
x
v
.
..
.
.
. .. . .
✌(x, y) . (u, v)
.
. . . .
.
. . . .. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
✻
.
.
.
.. ..
.
.
.
.
∆
. .
. . . . . . .. .
. .
.
.
.
.
.
. ..
.
.
. .
✲
u
on regulaarne, st
1) teisendus (3.3.1) on üksühene,
2) osatuletised x u (u, v) , x v (u, v) , y u (u, v) ja y v (u, v) on pidevad piirkonnas ∆,
3) teisenduse (3.1) jakobiaan
J(u, v) def.
=
∣ x u x v
y u y v
∣ ∣∣∣
≠ 0 ((u, v) ∈ ∆) .
Kehtib järgmine väide.
Lause 1 (vt [9] , lk 282-285). Kui funktsioon f (x, y) on pidev piirkonnas
D ja teisendus (3.3.1) on regulaarne piirkonnas ∆ ning teisendab piirkonna ∆
piirkonnaks D, siis
∫∫
∫∫
f(x, y)dxdy = f(x (u, v) , y (u, v)) | J (u, v)| du dv. (3.3.2)
D
∆
Märkus 1. Valem (3.3.2) kehtib ka juhul, kui teisendus (3.3.1) ei ole regulaarne
l~oplikus arvus punktides v~oi l~oplikul arvul joontel, mille pindala on null.
Vaatleme üleminekut polaarkoordinaatidele, kus teisendus (3.3.1) on kujul
{ x = ρ cos ϕ
(ϕ, ρ) ∈ ∆
y = ρ sin ϕ
ja
J(ϕ, ρ) =
∣ x ∣ ϕ x ρ ∣∣∣ =
y ϕ y ρ
∣
−ρ sin ϕ cos
ρ cos ϕ
ϕ
sin ϕ
∣ = −ρ ≠ 0,