MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

3.9. ESIMEST LIIKI JOONINTEGRAAL 193
4. ∫ Esimest liiki joonintegraal on lineaarne, st kui eksisteerivad integraalid
Γ f 1(P ) ds ja ∫ Γ f 2(P ) ds ning c 1 , c 2 ∈ R, siis eksisteerib ka integraal
∫
(c 1 f 1 (P ) + c 2 f 2 (P ) ) ds,
Γ
Γ
kusjuures
∫
∫
∫
(c 1 f 1 (P ) + c 2 f 2 (P ) ) ds = c 1 f 1 (P )ds + c 2 f 2 (P )ds.
5. Kui eksisteerivad integraalid ∫ Γ f(P ) ds ja ∫ g(P ) ds ning
Γ
siis
f(P ) ≤ g(P ) (P ∈ Γ) ,
∫
∫
f(P ) ds ≤ g(P ) ds.
T~oestame neist neljanda omaduse
∫
(c 1 f 1 (P ) + c 2 f 2 (P ) ) ds (3.9.7)
=
Γ
=
∫ s Γ
0
Γ
Γ
Γ
(c 1 f 1 (x (s) , y (s) , z (s)) + c 2 f 2 (x (s) , y (s) , z (s))) ds =
Γ
= [kasutame määratud integraali lineaarsust] =
∫s Γ
∫s Γ
= c 1 f 1 (x (s) , y (s) , z (s))ds + c 2 f 2 (x (s) , y (s) , z (s))ds (3.9.7)
=
0
= c 1
∫
Γ
f 1 (P )ds + c 2
∫
Γ
f 2 (P ) ds.
T~oestage ülejäänud omadused iseseisvalt.
Definitsioon 3. V~orranditega (3.9.1) antud joont Γ nimetatakse siledaks,
kui
x ′ (t), y ′ (t), z ′ (t) ∈ C [α, β]
ja
(x ′ (t)) 2 + (y ′ (t)) 2 + (z ′ (t)) 2 ≠ 0 (t ∈ [α, β]) .
0
□
Definitsioon 4. V~orranditega (3.9.1) antud joont Γ nimetatakse tükiti siledaks,
kui ta koosneb l~oplikust arvust siledatest osadest.