MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool
MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool
MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
18 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS<br />
lähenemisteed:<br />
y<br />
Q(x, b)<br />
✻ <br />
✲<br />
A(a, b)<br />
<br />
✻<br />
✻<br />
O<br />
<br />
P (x, y)<br />
✲<br />
<br />
R(a, y)<br />
✲ x<br />
Implikatsiooni (1.2.1) mittepööratavus järeldub järgmisest näitest.<br />
Näide 1. Uurime korduvaid piirväärtusi ja kahe muutuja funktsiooni<br />
2xy/ ( x 2 + y 2) piirväärtust piirprotsessis (x, y) → (0; 0) .<br />
Leiame<br />
lim lim<br />
x→0 y→0<br />
lim lim<br />
y→0 x→0<br />
2xy<br />
x 2 + y 2 = lim<br />
x→0<br />
2xy<br />
x 2 + y 2 = lim<br />
y→0<br />
0<br />
x 2 = lim 0 = 0,<br />
x→0<br />
0<br />
y 2 = lim 0 = 0,<br />
y→0<br />
□<br />
st korduvad piirväärtused on v~ordsed. Teisalt,<br />
lim<br />
(x, y)→(0;0)<br />
⎡<br />
2xy<br />
x 2 + y 2 = ⎣<br />
kasutame üleminekut polaarkoordinaatidesse<br />
valemitega x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ,<br />
kusjuures ((x, y) → (0; 0)) ⇔ (ρ → 0)<br />
⎤<br />
⎦ =<br />
= lim<br />
ρ→0<br />
2ρ cos ϕ · ρ sin ϕ<br />
ρ 2 cos 2 ϕ + ρ 2 sin 2 ϕ = lim<br />
ρ→0<br />
2 cos ϕ sin ϕ<br />
cos 2 ϕ + sin 2 = sin 2ϕ,<br />
ϕ<br />
st tulemus jääb s~oltuma lähenemisnurgast ϕ. Lause 1 esimese osa p~ohjal uuritavat<br />
piirväärtust ei eksisteeri, st<br />
∄<br />
lim<br />
(x, y)→(0;0)<br />
Seega implikatsioon (1.2.1) ei ole pööratav.<br />
2xy<br />
x 2 + y 2 .<br />
Kahe muutuja funktsiooni piirväärtuse uurimise kahe v~ottega puutusime<br />
kokku Näites 1. Kolmas v~ote kasutab punktile (0; 0) lähenemist piki sirget<br />
y = kx.<br />
2x 2 y 3<br />
Näide 2. Leiame piirväärtuse lim<br />
(x, y)→(0;0) x 4 + y 4 .<br />
Kui läheneme nullpunktile piki sirget y = kx, siis<br />
♦<br />
((x, y) → (0; 0)) y=kx<br />
⇔ (x → 0)
Change language