MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.5. INTEGRAALTUNNUS 85
(joonisel S ABDE ≥ S ABCE ≥ S ABCF ) ehk
v~oi
∫ k+1
f(k) dx ≥
k
f(k) ≥
∫ k+1
k
∫ k+1
k
∫ k+1
f(x) dx ≥ f(k + 1) dx (k ∈ N)
k
f(x) dx ≥ f(k + 1) (k ∈ N) .
Viimasest ahelast saame tingimuse (2.5.1) abil, et
Seega kehtivad seosed
ja
a k ≥
n∑
a k ≥
k=1
S n ≥
∫ k+1
n∑
k=1
k
∫ n+1
1
∫ k+1
k
f(x) dx ≥ a k+1 (k ∈ N) .
f(x) dx ≥
n∑
a k+1 (n ∈ N)
k=1
f(x) dx ≥ S n+1 − a 1 (n ∈ N) . (2.5.5)
Olgu ∑ ∞
k=1 a k ∈ c. Et viimane tingimus on positiivse arvrea korral samaväärne
selle rea osasummade jada {S n } t~okestatusega, st ∃ M > 0 : S n ≤ M (n ∈ N) ,
siis ahela (2.5.5) esimesest v~orratusest leiame, et
∫ n+1
1
f(x) dx ≤ M (n ∈ N) . (2.5.6)
Kuna on täidetud tingimus (2.5.2), siis päratu integraal ∫ ∞
{
f(x) dx koondub
∫ } 1
n+1
parajasti siis, kui integraalide jada f(x) dx on ülalt t~okestatud. Seega
1
tingimusest (2.5.6) järeldub, et päratu integraal ∫ ∞
f(x) dx on koonduv. Teistpidi,
olgu vastav päratu integraal koonduv. Et tingimuse (2.5.2) korral järeldub
1
päratu integraali koonduvusest tingimuse (2.5.6) täidetus, siis ahela (2.5.5) viimase
v~orratuse abil j~ouame hinnanguni
S n+1 ≤ M + a 1 (n ∈ N) ,
mis positiivse arvrea korral on piisav selle rea koonduvuseks. Seega päratu integraali
∫ ∞
f(x) dx koonduvusest järeldub rea ∑ ∞
1 k=1 a k koonduvus. Formuleerime
t~oestatud tulemuse.
Lause 1 (integraaltunnus). Kui positiivse arvrea ∑ ∞
k=1 a k korral on täidetud
tingimused (2.5.1), (2.5.2) ja (2.5.3), siis rida ∑ ∞
k=1 a k ja päratu integraal
f(x) dx kas koonduvad v~oi hajuvad samaaegselt.
∫ ∞
1