MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

3.16. ÜLESANDED 223
10. ∫ √ 2
− √ 2 dy ∫ √ √ 4−2y 2
f(x, y)dx. V: ∫ 2
− 4−2y 2 −2 dx ∫ √ √ (4−x 2 )/2
f(x, y)dy.
− (4−x 2 )/2
11. ∫ 1
0 dy ∫ 3−2y
√ y
f(x, y)dx. V: ∫ 1
0 dx ∫ x 2
f(x, y)dy + ∫ 3
0 1 dx ∫ (3−x)/2
f(x, y)dy.
0
12. ∫ 1
0 dy ∫ √ 2− 2y−y 2
f(x, y)dx.
y 3/2
V: ∫ 1
0 dx ∫ x 2/3
0
f(x, y)dy + ∫ 2
1 dx ∫ 1− √ 4x−x 2 −3
0
f(x, y)dy.
13. ∫ 1
0 dy ∫ √ 3+ √ 1−y 2
f(x, y)dx + ∫ 2
1− 1−y 2 1 dy ∫ √ 2+ √ 2y−y 2
f(x, y)dx.
2− 2y−y 2
V: ∫ 1
0 dx ∫ √ 2x−x 2
f(x, y)dy + ∫ 3
0 1 dx ∫ 1+ √ 4x−x 2 −3
f(x, y)dy+
0
+ ∫ 4
3 dx ∫ √ 6x−x 2 −8
f(x, y)dy.
0
14. Arvutage ∫∫ √
D 4 − x2 − y 2 dxdy, kui D on ringi x 2 +y 2 ≤ 4 teises veerandis
paiknev osa. V: 4π/3.
15. Leidke funktsiooni z = √ R 2 − x 2 − y 2 keskmine väärtus ringi
x 2 + y 2 ≤ R 2 esimeses veerandis. V: 2R/3.
Ülesannetes 16–18 arvutage kolmekordne integraal:
16. ∫ c
0 dx ∫ 2x
x
dy ∫ x+y
x−y 2x2 y 2 zdz. V: 15 8 c8 .
17. ∫∫∫ dxdydz
, kus Ω on määratud tasanditega x = 0, y = 0, z = 0,
Ω
(4 + x + y + z)
3
x + y + z = 4. V: ln √ 2 − 5/16.
18. ∫∫∫ Ω y sin(z + x)dxdydz , kus Ω− pindadega y = √ x , y = 0, z = 0
ja x + z = π/2 piiratud piirkond. V: π/4 − 1/2.
Ülesannetes 19–22 määrake rajad kahekordses integraalis ∫∫ f(x, y)dxdy antud
D
D korral, kasutades polaarkoordinaate:
19. D− piirkond, mis on määratud ringjoontega x 2 + y 2 = 2y, x 2 + y 2 = 4y ja
sirgetega y = x ning y = x/2. V: ∫ π/4
arctan 0.5 dϕ ∫ 4 sin ϕ
ρf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ.
2 sin ϕ
20. D on kahe ringi x 2 + y 2 ≤ ax (a > 0) ja x 2 + y 2 ≤ by (b > 0) ühisosa.
V: ∫ arctan(a/b)
dϕ ∫ b sin ϕ
ρf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ+
0 0
+ ∫ π/2
arctan(a/b) dϕ ∫ a cos ϕ
ρf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ.
0
21. D on Bernoulli lemniskaadi (x 2 +y 2 ) 2 = a 2 (x 2 −y 2 ) poolt piiratud piirkond.
V: ∫ π/4
−π/4 dϕ ∫ a √ cos 2ϕ
ρf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ+
0
+ ∫ 5π/4
3π/4 dϕ ∫ a √ cos 2ϕ
ρf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ.
0
22. D on v~orratustega x ≥ 0, y ≤ 0 ja (x 2 + y 2 ) 3 ≤ 4a 2 x 2 y 2 (a > 0) määratud
piirkond. V: ∫ 3π/2
dϕ ∫ −a sin 2ϕ
ρf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ.
π 0
Ülesannetes 23–25 teisendada integraalid polaarkoordinaatidesse:
23. ∫ 2R
R/2 dx ∫ √ 2Rx−x 2
f(x, y)dx. V: ∫ π/3
dϕ ∫ 2R cos ϕ
ρf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ.
0 0 R/(2 cos ϕ)
24. ∫ R
−R dy ∫ 0 √ f(x, y)dy. V: ∫ 3π/2
dϕ ∫ R
ρf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ.
− R 2 −y 2 π/2 0
25. ∫ R/ √ 1+R 2
0
dy ∫ Ry
0
f( x y )dx + ∫ R
R/ √ 1+R 2 dy ∫ √ R 2 −y 2
V: R2
2
∫ π/2
f (cot ϕ) dϕ.
arctan(1/R)
0
f( x y )dx.