MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.3. D’ALEMBERT’I TUNNUS 79
1
= lim √
k→∞ k
1−2α
+ √ k 1−2α − k =
⎧
−2α ∞, kui α > 1 ⎪⎨
2 ,
= 0, kui α < 1 2 ,
⎪⎩ 1, kui α = 1 2 .
Rakendame Lauset 4. Et harmooniline rida on α = 1 2
uuritav rida on hajuv. ♦
korral hajuv, siis ka
2.3 D’Alembert’i tunnus
Olgu ∑ ∞
k=1 a k positiivne arvrida. Eksisteerigu l~oplik piirväärtus
a k+1
lim = q. (2.3.1)
k→∞ a k
Lähtudes jada piirväärtuse definitsioonist leiame
∀ε > 0 ∃k 0 = k 0 (ε) :
a k+1
∣ − q
a k
∣ < ε (k ≥ k 0)
ehk
v~oi
∀ε > 0 ∃k 0 = k 0 (ε) : −ε < a k+1
a k
− q < ε (k ≥ k 0 )
∀ε > 0 ∃k 0 = k 0 (ε) : (q − ε) a k < a k+1 < (q + ε) a k (k ≥ k 0 ) . (2.3.2)
Et Lause 2.1.2 alusel ei m~ojuta l~opliku arvu rea esimeste liikmete ärajätmine
v~oi lisamine rea koonduvust, siis piisab vaid uurida juhtu k 0 = 1.
Kui q < 1, siis v~oime ette anda sellise arvu ε > 0, et ka q + ε < 1. V~orratuste
ahela (2.3.2) viimase v~orratuse p~ohjal leiame
ja
a k+1 < (q + ε) a k (k ∈ N)
a k < (q + ε) a k−1 < (q + ε) 2 a k−2 < . . . < (q + ε) k−1 a 1 (k ∈ N) .
V~ordleme positiivseid arvridu ∑ ∞
k=1 a k ja ∑ ∞
k=1 (q + ε)k−1 a 1 . Et
|q + ε| < 1
Näide 2.1.2
⇒
∞∑
(q + ε) k−1 ∈ c
k=1
Lause 2.1.4
⇒
∞∑
(q + ε) k−1 a 1 ∈ c
ja a k < (q + ε) k−1 a 1 (k ∈ N) , siis Lause 2.2.2 p~ohjal on koonduv ka rida
∑ ∞
k=1 a k.
k=1