MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.19. ÜLESANDED 141
1
V:
2 (α + n + 2) − 1
2 (α + n + 1) + 1
2 (1 + α) (2 + α) , 1
2 (1 + α) (2 + α) .
8. ∑ (
∞ √k √ √ )
k=1 + 2 − 2 k + 1 + k . V: 1 − √ 2 + √ n + 2 − √ n + 1, 1 − √ 2.
9. ∑ ∞ 1
k=1
4k 2 − 1 . V: n
1 + 2n , 1
2 .
10. ∑ ∞ 1
k=1
k (k + 1) (k + 2) . V: n (n + 3)
4 (n + 2) (n + 1) , 1
4 .
11. ∑ ∞ x 2n−1 1
k=1
. V:
1 − x 2n 1 − x − 1 x
;
1 − x 2n 1 − x , kui |x| < 1, ja 1
1 − x , kui
|x| > 1.
12. ∑ ∞
k=1 arctan 1
2k 2 .
x + y
Kasutage valemit arctan x + arctan y = arctan
1 − xy
(xy < 1) . V: arctan (n/ (n + 1)) , π/4.
13. T~oestage matemaatilise induktsiooni meetodil, et
1
p (α + 1) · · · (α + p) on
rea ∑ ∞
1
k=1
summa.
(k + α) (k + α + 1) · · · (k + α + p)
Ülesannetes 14–45 uurige rea koonduvust.
14. ∑ ∞ 1
k=1
(a > 0) . V: hajub, kui a ≤ 1 ja koondub, kui a > 1.
1 + ak 15. ∑ ∞ 1
k=1
. V: koonduv.
(3k − 1) 3k 16. ∑ ∞ 3π
k=1
sin
18. ∑ ∞
k=1
19. ∑ ∞
k=1
20. ∑ ∞
k=1
22. ∑ ∞
k=1
23. ∑ ∞
k=1
24. ∑ ∞
k=1
26. ∑ ∞
k=1
28. ∑ ∞
k=1
30. ∑ ∞
31. ∑ ∞
k=1
4 k . V: koonduv. 17. ∑ ∞
k=1
(k + 2) (k + 4)
. V: hajuv.
√
(2k + 1) (2k + 3) (2k + 5)
k2 + 1 − √ k 2 − 1
5√ . V: koonduv.
k
2
2π
tan
5k . V: hajuv. 21. ∑ ∞
k=1
(
1 + √ ) 7
k
1 + 3√ . V: koonduv.
k 2
(
3√ √ ) 2
k −
3
k − 1 . V: koonduv.
3 k
3k + 2
k 2 . V: hajuv.
+ 2
1
. V: hajuv.
ln (2k + 3)
(3k + 1)! . V: koonduv. 25. ∑ ∞ kπ
k=1
sin . V: koonduv.
3k (2k − 1)!!
(3k − 2)!!! . V: koonduv. 27. ∑ ∞ 2 k
k=1 4
. V: hajuv.
(
(k + 1)
e 1/k − 1 ) . V: hajuv. 29. ∑ ∞
k=1
ln (1 + 1/k) . V: hajuv.
k=1 qk+√k (
(q >
)
0) . V: koonduv, kui q < 1, ja hajuv, kui q ≥ 1.
1 − cos π k
. V: koonduv.
32. ∑ 1 + tan π
∞
k=1 ln k
1 − tan π . V: hajuv. 33. ∑ ∞
k=1
k
k k−1
. V: koonduv.
k!ek