MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

80 PEATÜKK 2. READ
Kui q > 1, siis v~oime ette anda sellise arvu ε > 0, et ka q − ε > 1. V~orratuste
ahela (2.3.2) esimese v~orratuse p~ohjal leiame
Seega
a k+1 > (q − ε) a k (k ∈ N) .
a k > (q − ε) a k−1 > (q − ε) 2 a k−2 > . . . > (q − ε) k−1 a 1 (k ∈ N) .
V~orreldes positiivseid arvridu ∑ ∞
k=1 a k ja ∑ ∞
k=1 (q − ε)k−1 a 1 , j~ouame Lause
2.2.3 p~ohjal tulemuseni, et hinnangust a k > (q − ε) k−1 a 1 (k ∈ N) ja absoluutväärtuse
poolest ühest suurema teguriga geomeetrilise rea ∑ ∞
k=1 (q − ε)k−1 a 1
hajuvusest järeldub rea ∑ ∞
k=1 a k hajuvus. Kui q = 1, siis eelnevalt kasutatud
metoodika ei ole rakendatav. S~onastame t~oestatud väite.
Lause 1 (d’Alembert’i tunnus). Kui positiivse arvrea ∑ ∞
k=1 a k korral eksisteerib
l~oplik piirväärtus (2.3.1), siis
1) juhul q < 1 on uuritav rida koonduv,
2) juhul q > 1 on uuritav rida hajuv.
Näide 1. Uurime rea ∑ ∞ 3 k
k=1
k! koonduvust.
Tegu on positiivse arvreaga. Et
a k = 3k
k!
⇒ a k+1 = 3k+1
(k + 1)! ,
siis
3 k+1
a k+1 (k + 1)! 3 k+1 k!
lim = lim
k→∞ a k k→∞ 3 k = lim
k→∞(k + 1)!3 k =
k!
3 · 1 · 2 · 3 · · · k
= lim
k→∞1 · 2 · 3 · · · k · (k + 1) = lim 3
k→∞(k + 1) = 0 < 1
ja Lause 1 p~ohjal on uuritav rida koonduv.
Näide 2. Uurime rea ∑ ∞ (3k − 2)!!!
k=1
(2k − 1)!!
Selgitame tähistusi:
♦
koonduvust.
(3k − 2)!!! def
= 1 · 4 · 7 · · · (3k − 5) · (3k − 2) (k ∈ N) ,
(2k − 1)!! def
= 1 · 3 · 5 · · · (2k − 3) · (2k − 1) (k ∈ N) .