MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

3.5. KOLMEKORDNE INTEGRAAL 173
Kasutame Lauset 4. Valemi (3.4.15) p~ohjal saame
⎡
∫∫
I x = y 2 dS = ⎢
⎣
D
∫2π
= dϕ
0
= 3ab3
4
·
∫ 1
0
kasutame muutujate vahetust
x = aρ cos 3 ϕ, y = bρ sin 3 ϕ,
J = 3abρ cos 2 ϕ sin 2 ϕ,
∆ = {(ρ, ϕ) | (0 ≤ ρ ≤ 1) ∧ (0 ≤ ϕ ≤ 2π)}
3abρ cos 2 ϕ sin 2 ϕb 2 ρ 2 sin 6 ϕdρ = 3ab3
4
7
128 π = 21
512 ab3 π.
Analoogiliselt saame valemi (3.4.16) abil
Seega leiame (3.4.17) p~ohjal
I y = 21a 3 bπ/512.
∫
2π
0
⎤
⎥
⎦ =
cos 2 ϕ sin 8 ϕdϕ =
I O = I x + I y = 21
512 ab3 π + 21
512 a3 bπ = 21
512 abπ ( a 2 + b 2) . ♦
3.5 Kolmekordne integraal
Olgu ruumis R 3 ehk lihtsalt xyz-ruumis antud piirkond (kinnine, t~okestatud,
m~o~otuv hulk) Ω. Olgu piirkonna Ω igas punktis P (x, y, z) määratud funktsioon
f(x, y, z). Jaotame piirkonna Ω tükiti siledate pindadega n osapiirkonnaks Ω i
(i = 1; . . . ; n) . Olgu ∆V i osapiirkonna Ω i ruumala ja d i selle piirkonna läbim~o~ot.
Fikseerime igas osapiirkonnas Ω i suvaliselt punkti P i (ξ i , η i , ς i ) (i = 1; . . . ; n) .
Moodustame integraalsumma
n∑
f (ξ i , η i , ς i ) ∆V i
ehk lühidalt
i=1
n∑
f (P i ) ∆V i .
i=1
Märgime, et max d i → 0 ⇒ n → ∞.
Definitsioon 1. Kui eksisteerib piirväärtus
n∑
lim f (P i ) ∆V i ,
max d i→0
i=1
mis ei s~oltu piirkonna Ω osapiirkondadeks Ω i jaotamise viisist ja punktide P i ∈
Ω i valikust, siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x, y, z) kolmekordseks
integraaliks üle piirkonna Ω ning tähistatakse sümboliga
∫∫∫
f(P ) dV,
Ω