MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

1.2. FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS JA PIDEVUS 19
ja
2x 2 y 3
lim
(x, y)→(0;0) x 4 + y 4 = lim 2x 2 (kx) 3
[∣ ∣
x→0 x 4 + (kx) 4 = lim x 2k3 ∣∣∣
x→0 1 + k 4 = 2k 3 ] ∣∣∣
1 + k 4 ≤ 1 = 0
ühtlaselt k ∈ R suhtes. Nullpunkti läbib ka y-telg ja ta on kirjeldatav mitte
v~orrandi y = kx, vaid x = 0 abil. Uurime lähenemist piki seda sirget
lim
(x, y)→(0;0)
2x 2 y 3
x 4 = [x = 0] = lim
+ y4 y→0
2 · 0 2 y 3
0 4 + y 4 = lim
y→0
0
y 4 = lim
y→0 0 = 0.
Uuritav kahe muutuja funktsiooni piirväärtus eksisteerib ja v~ordub nulliga.
Kui kolmanda v~otte rakendamisel jääb tulemus s~oltuma lähenemiseks kasutatava
sirge t~ousunurga tangensist k, siis Lause 1 p~ohjal uuritavat piirväärtust
ei eksisteeri. Lisame kaks väidet eriti usinale tudengile.
Lause 2. Kui
f(a + ρ cos ϕ, b + ρ sin ϕ) = α + ρ λ F (ϕ, ρ),
kus λ > 0 ja F (ϕ, ρ) = O (1) (0 ≤ ϕ < 2π, 0 < ρ < r) , siis
lim f (x, y) = α ⇔ lim f(a + ρ cos ϕ, b + ρ sin ϕ) = α.
(x, y)→(a,b) ρ→0
Lause 3. Kui
f(a + kt, b + nt) = α + t µ G(t, k, n),
kus µ > 0 ja G(t, k, n) = O(1) (0 < |t| < β, |k| < ∞, |n| < ∞) , siis
♦
lim f (x, y) = α ⇔
(x, y)→(a,b)
lim f(a + ρ cos ϕ, b + ρ sin ϕ) = α.
ρ→0
Definitsioon 3. Funktsiooni u = f (x 1 , . . . , x n ) nimetatakse pidevaks punktis
A(a 1 , . . . , a n ), kui
lim f (P ) = f (A) , (1.2.2)
P →A
st on täidetud kolm tingimust:
1. ∃ f (A) ;
2. ∃ lim
P →A f (P ) ;
3. lim f (P ) = f (A) .
P →A
Definitsioon 4. Funktsiooni u = f (P ) nimetatakse pidevaks piirkonnas
Ω 0 ⊆ Ω ⊆ R n , kui see funktsioon on pidev piirkonna Ω 0 igas punktis.
Asjaolu, et funktsioon f(P ) on pidev piirkonnas Ω 0 , tähistatakse f(P ) ∈
C (Ω 0 ) . Kui P (a 1 + ∆x 1 , . . . , a n + ∆x n ) , ∆x = (∆x 1 , . . . , ∆x n ) ja