MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

1.4. FUNKTSIOONI TÄISDIFERENTSIAALID 25
T~oestus. Et
lim ∆z = lim (f x(x, y)∆x + f y (x, y)∆y + γ) = 0,
(∆x,∆y)→(0;0) (∆x,∆y)→(0;0)
pide-
siis on täidetud tingimus (1.2.3), mis on tarvilik ja piisav funktsiooni f
vuseks punktis P (x, y) .
Definitsioon 2. Suurust
dz = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy, (1.4.3)
kus dx def.
= ∆x ja dy def.
= ∆y, nimetatakse funktsiooni z = f(x, y) täisdiferentsiaaliks.
Funktsiooni z = f(x, y) täisdiferentsiaali dz v~oib esitada kujul
d z = ∂
∂x f(x, y)dx + ∂ f(x, y)dy
∂y
v~oi formaalselt kujul
d z =
( ∂
∂x dx + ∂ ∂y dy )
f(x, y),
∂
kus operaatori
∂x dx + ∂ dy rakendamisel funktsioonile f(x, y) tuleb m~olemas
∂y
liidetavas sümboli ∂ taha kirjutada f(x, y).
Näide 1. Leiame funktsiooni z = sin y täisdiferentsiaali. Et
x
(
z x = cos y ) (− y ) (
x x 2 , z y = cos y ) ( )
1
,
x x
siis
dz = − y x 2 cos y x dx + 1 x cos y x dy.
♦
V~orreldes valemeid (1.4.2) ja (1.4.3), näeme, et funktsiooni z = f(x, y) muut
∆z ja täisdiferentsiaal dz erinevad teineteisest suuruse γ v~orra. Seejuures on γ
piirprotsessis (∆x, ∆y) → (0; 0) k~orgemat järku l~opmata väike, v~orreldes suurusega
√
(∆x) 2 + (∆y) 2 . Seega ∆z ≈ dz ja valemist (1.4.3) saame ligikaudse seose
∆z ≈ f x (x, y)∆x + f y (x, y)∆y, millest järeldub rakendusteks sobilik valem
f(x + ∆x, y + ∆y) ≈ f(x, y) + f x (x, y)∆x + f y (x, y)∆y. (1.4.4)