MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

94 PEATÜKK 2. READ
2.8 Abeli teoreem
Järgnevas uurime teatavas m~ottes lihtsamaid funktsionaalridu.
Definitsioon 1. Funktsionaalrida kujul
∞∑
a k (x − a) k (2.8.1)
k=0
nimetatakse astmereaks. Suurusi a k (k ∈ N 0 ) nimetatakse astmerea kordajateks.
Teostame rea (2.8.1) korral muutujate vahetuse y = x−a. Tulemuseks saame
astmerea ∑ ∞
k=0 a ky k . Seega piisab uurida astmeridu kujul
∞∑
a k x k . (2.8.2)
k=0
Lause 1 (Abeli teoreem). Kui astmerida (2.8.2) koondub punktis x 0 , siis
rida (2.8.2) koondub absoluutselt iga x korral, mis rahuldab v~orratust
ja hulgal
|x| < |x 0 | , (2.8.3)
X = {x : |x| ≤ q < |x 0 |} , (2.8.4)
kus q on mingi positiivne arv, koondub rida (2.8.2) ühtlaselt. Kui astmerida
(2.8.2) hajub punktis x 1 , siis rida (2.8.2) hajub iga x korral, mis rahuldab
v~orratust
|x| > |x 1 | . (2.8.5)
T~oestus. Lause 1 väide koosneb kolmest osast.
1. Juhul x 0 = 0 on Lause 1 esimene väide ilmne. Olgu rida (2.8.2) koonduv
punktis x 0 , kusjuures x 0 ≠ 0. Arvrea koonduvuse tarviliku tingimuse p~ohjal
leiame, et (
∑ ∞
) (
)
a k x k 0 ∈ c ⇒ lim a kx k 0 = 0 .
k→∞
k=0
Kuna iga koonduv arvjada on t~okestatud, siis
(
)
lim a kx k 0 = 0
k→∞
⇒ ( ∃M > 0 : ∣ ∣a k x k ∣
0 ≤ M (k ∈ N 0 ) ) . (2.8.6)
Fikseerime punkti x, mis rahuldab v~orratust (2.8.3). Saame hinnangu
∣ ∣ ak x k∣ ∣ ∣ ≤ ∣ak x k ∣
x ∣∣∣
k ∣ (2.8.6)
0 ∣ ≤ M
x ∣∣∣
k
x 0
∣ (k ∈ N 0 ) ,
x 0
st
∣ ak x k∣ ∣ ≤ M
∣ ∣∣∣ x
x 0
∣ ∣∣∣
k
(k ∈ N 0 ) . (2.8.7)