MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

168 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
Näide 5. Leiame helikoidi (kruvipinna) osa
⎧
⎨
⎩
x = u cos v
y = u sin v
z = v
((u ∈ [0; R]) ∧ (v ∈ [0; 2π]))
pindala. See helikoid saadakse z-teljega ristuva kiire ühtlasel pöörlemisel ümber
z-telje ja samaaegsel nihkumisel selle telje sihis, st kruviliikumisel.
Skitseerime helikoidi selle osa
z ✻
2π
.. .
. .
. .
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. .
.
. . . . . .
.
.
.
. .
..
. .. .
. .. .
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
✟ ✟✯y
.
.
.
.
.
R
✲ x
Leiame, et
x u = cos v, y u = sin v, z u = 0,
x v = −u sin v, y v = u cos v, z v = 1
ja
ning
x u y v − x v y u = u cos 2 v + u sin 2 v = u,
z u y v − z v y u = − sin v, z v x u − z u x v = cos v
(x u y v − x v y u ) 2 + (z u y v − z v y u ) 2 + (z v x u − z u x v ) 2 = u 2 + 1.
Veenduge, et on täidetud Lause 3 tingimused. Valemi (3.4.7) p~ohjal saame
∫∫
S Σ =
∆
√ ∫2π
u2 + 1dudv = dv
∫ R
0 0
√
u2 + 1du =
[
=
u = sh t, du = ch t dt, t = ln ( u + √ u 2 + 1 )
u = 0 ←→ t = 0, u = R ←→ t = ln ( R + √ R 2 + 1 ) ]
=
= 2π
ln(R+ √ R 2 +1)
∫
0
ch 2 t dt = π
ln(R+ √ R 2 +1)
∫
0
(1 + ch 2t) dt =