MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

3.4. KAHEKORDSE INTEGRAALI RAKENDUSED 169
= π
ln(R+ √ R 2 +1)
∫
0
(
= π R √ R 2 + 1 + ln
(1 + ch 2t) dt = π
(
t +
(
R + √ ))
R 2 + 1 . ♦
)∣
sh 2t ∣∣∣
ln(R+ √ R 2 +1)
=
2
0
Näide 6. Tooriks nimetatakse pöördpinda, mis tekib ringjoone pöörlemisel
selle ringjoonega samal tasandil asuva ning temaga mittel~oikuva sirge ümber.
Leiame ringjoone (y − R) 2 + z 2 = r 2 (0 < r < R) pöörlemisel ümber z-telje
(√ ) 2
tekkiva toori x2 + y 2 − R + z 2 = r 2 pindala.
Skitseerime selle toori
z
✻
. . . . . . . . . (y − R) 2 + z 2 = r
. .
. .
2
.
. .
. .
.
. . . . . .
.
✲
y
.. .. ........ ..
. .
.....
....
....... .. ........ ..
.
.
. . . . . .....
. ..
R r + R
✟.
✟
x ✟✙ . . . . . . . . . . . . . . ....
Veenduge, et
⎧⎨
⎩
x = (R + r cos v) cos u
y = (R + r cos v) sin u
z = r sin v
on selle toori parameetrilised v~orrandid. Leiame, et
ja
ning
((u ∈ [0; 2π]) ∧ (v ∈ [0; 2π]))
x u = − (R + r cos v) sin u, y u = (R + r cos v) cos u, z u = 0,
x v = −r sin v cos u, y v = −r sin v sin u, z v = r cos v,
x u y v − x v y u = r (sin v) R + r 2 sin v cos v = r sin v (R + r cos v) ,
z u y v − z v y u = − (r cos v) ((R + r cos v) cos u) ,
z v x u − z u x v = − (r cos v) (R + r cos v) sin u
(x u y v − x v y u ) 2 + (z u y v − z v y u ) 2 + (z v x u − z u x v ) 2 = r 2 (R + r cos v) 2 .
Veenduge, et Lause 3 tingimused on täidetud. Valemi (3.4.7) p~ohjal saame
∫∫ √
∫∫
S Σ = r 2 (R + r cos v) 2 dudv R>r
= r (R + r cos v) dudv =
∆
∫2π
∫2π
= du r (R + r cos v) dv = 4π 2 Rr.
0
0
∆
♦