MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

228 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
108. Leidke poolsfääri z = √ R − x 2 − y 2 kujulise kooriku inertsmoment z-telje
suhtes, kui pindtihedus ρ(x, y, z) = 1. V: 4πR 4 /3.
Ülesannetes 109–104 arvutage pindintegraal üle antud pinna Σ :
109. ∫∫ xdydz + ydxdz + zdxdy, kus Σ on tasandi x + y + z = 1 see osa,
Σ
mis paikneb esimeses oktandis. Valige pinnapool, millel normaal moodustab
koordinaattelgede suundadega teravnurgad. V: 1/2.
110. ∫∫ xdydz + ydxdz + zdxdy, kus Σ on tasanditega x = 0, y = 0,
Σ
z = 0, ∫∫x = 1, y = 1, z = 1 määratud kuubi väline pinnapool. V: 3.
111.
Σ x2 y 2 zdxdy, kus Σ on poolsfääri x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (z ≤ 0) ülemine
pinnapool. V: 2πR 7 /105.
112. ∫∫ Σ xyzdxdy, kus Σ on poolsfääri z = −√ R − x 2 − y 2 alumine pinnapool.
V: 0.
113. ∫∫ ∫∫Σ x2 dydz, kus Σ on sfääri x 2 + y 2 + z 2 = R 2 väline pinnapool. V: 0.
114. xzdxdy + xydydz + yzdxdz, kus Σ on tasanditega x = 0,
Σ
y = 0, ∫∫z = 0, x + y + z = 1 määratud püramiidi sisemine pinnapool. V: −1/8.
115. yzdxdy + xzdudz + xydxdz, kus Σ on pindadega
Σ
x 2 + y 2 = R 2 , x = 0, y = 0, z = 0, z = H esimeses kahesandikus ( 2R
määratud keha välispinna väline pinnapool. V: R 2 H
3 + πH )
.
∫∫
8
116.
Σ y2 zdxdy + xzdydz + x 2 ydxdz, kus Σ on pindadega
z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 1, x = 0, y = 0, z = 0 esimeses kaheksandikus
määratud keha välispinna sisemine pinnapool. V: −π/8.
117. ∮ Kasutades Stokesi valemit, teisendage joonintegraali
Γ (x2 + z 2 )dx + (x 2 + z 2 )dy + (x 2 + y 2 )dz.
V: 2 ∫∫ (x − y) dxdy + (y − z) dydz + (z − x) dxdz.
Σ
Ülesannetes 118– 121 kasutage Gauss-Ostrogradski valemit:
118. Leidke vektori F = (y, z, x) voog läbi tasanditega x = 0, y = 0, z = 0 ja
x + y + z = 1 määratud püramiidi välise pinnapoole. V: 0.
119. Arvutage ∫∫ Σ xyz dxdy, kus Σ on pindadega z = 0 ja z = −√ R 2 − x 2 − y 2
määratud keha väline pinnapool. V: 0.
120. Arvutage ∫∫ Σ (y − z) dxdy, kus Σ on pindadega z = 1 ja z = √ x 2 + y 2
määratud keha väline pinnapool. V: 0.
121. Arvutage ∫∫ (
Σ xy 2 + yz 2) dydz+ ( zx 2 − yx 2) dxdy+ ( yz 2 + x 3 z ) dxdz, kus
Σ on pindade x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ja z = √ x 2 + y 2 määratud keha (z ≥ 0) väline
pinnapool. V: 2πR ( 5 1 − √ 2/2 ) /5.
Ülesannete 122–126 lahendamisel kasutage Gauss-Ostrogradski valemit:
122. Leidke ülesandes 110 esitatud pindintegraal.
123. Leidke ülesandes 113 esitatud pindintegraal.
124. Leidke ülesandes 114 esitatud pindintegraal.
125. Leidke ülesandes 115 esitatud pindintegraal.
126. Leidke ülesandes 116 esitatud pindintegraal.