MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

1.5. LIITFUNKTSIOONI OSATULETISED 27
Näide 3. Olgu z = x y . Leiame d 2 z.
Näites 1.3.3 leidsime vajalikud teist järku osatuletised. Paigutame need valemisse
(1.4.5):
d 2 z = y (y − 1) x y−2 (dx) 2 + 2 ( x y−1 + yx y−1 ln x ) dxdy + x y (ln x) 2 (dy) 2 . ♦
Definitsioon 4. Funktsiooni z = f(x, y) n-järku täisdiferentsiaal d n z defineeritakse
kui esimest järku täisdiferentsiaal (n − 1) -järku täisdiferentsiaalist,
st
d n z def
= d ( d n−1 z ) .
Kehtib valem
d n z =
( ∂
∂x dx + ∂ ∂y dy ) n
f(x, y).
Analoogilised tulemused kehtivad ka n-muutuja funktsiooni u = f(x 1 , . . . , x n )
korral. Kui tähistada
siis
x = (x 1 , . . . , x n ), ∆x = (∆x 1 , . . . , ∆x n ), dx i = ∆x i , du = ∑ n
i=1 f x i
(x)dx i ,
Kehtib seos
∆u = f(x+∆x) − f(x), d m u = d ( d m−1 u ) (m ≥ 2) ,
d m u =
∆u =
( n
∑
i=1
∂
∂x i
dx i
) m
f(x).
n∑
f xi (x)dx i + γ, (1.4.6)
i=1
kus γ on k~orgemat järku l~opmata väike suurus, v~orreldes suurusega
√ ∑n
i=1 (∆x i) 2 . Kuna ∆u ≈ du, siis saame rakendusteks sobiva valemi
f (x + ∆x) ≈ f (x) +
n∑
f xi (x)∆x i . (1.4.7)
i=1
Kehtib järgmine väide (v~orrelge seda Lausega 1.3.1).
Lause 1. Kui funktsiooni f(x, y) osatuletised f x ja f y on diferentseeruvad
punktis (x, y), siis selles punktis f xy = f yx .
1.5 Liitfunktsiooni osatuletised
1 ◦ Olgu funktsioonid x i = x i (t) (i = 1; . . . ; n) diferentseeruvad punktis t
ja funktsioon u = f(x 1 , . . . , x n ) diferentseeruv punktis P (x 1 (t) , . . . , x n (t)).
Leiame liitfunktsiooni u| xi=x i(t) = f(x 1 (t) , . . . , x n (t)) = u(t) tuletise du/dt
punktis t. Et funktsioon u = f(x 1 , . . . , x n ) = f(x) on diferentseeruv punktis P,