MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

8 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
xy defineeritakse seosega
xy def.
= x 1 y 1 + . . . + x n y n .
Ruumi R n vektoreid x ja y nimetatakse ortogonaalseteks, kui xy = 0. Ruumi
R n vektori x pikkus |x| defineeritakse kui ruutjuur vektori skalaarruudust
x 2 def
= xx, st
|x| = √ x 2 = √ xx = √ √
x 1 x 1 + . . . + x n x n = x 2 1 + . . . + x2 n.
Vektorite x ja y vaheline nurk defineeritakse seosega
cos ̂x , y =
xy
|x| |y| = x 1 y 1 + . . . + x n y
√ √ n
.
x
2
1 + . . . + x 2 n y
2
1 + . . . + yn
2
Vektorite süsteem {e 1 , . . . , e n } , kus e 1 = (1; 0; . . . ; 0) , e 2 = (0; 1; . . . ; 0) , . . . ,
e n = (0; 0; . . . ; 1) ja e i (i = 1, . . . , n) on x i -telje suunaline vektorrumi R n ühikvektor,
on ortonormaalne, st
def.
e i e j = δ ij =
{ 0, kui i ≠ j
1, kui i = j,
kus δ ij on Kroneckeri sümbol. Saame
x = (x 1 , . . . , x n ) = x 1 (1; 0; . . . ; 0) + . . . + x n (0; 0; . . . ; 1) = x 1 e 1 + . . . + x n e n .
Piirprotsessi kirjeldamisel ühe muutuja funktsiooni korral kasutame kahe x-teljel
paikneva punkti x 1 ja x 2 vahelist kaugust |x 2 − x 1 | . Üritame esitada neid probleeme
n-m~o~otmelisel juhul.
Definitsioon 4. Ruumi R n punktide P (x 1 , . . . , x n ) ja Q (y 1 , . . . , y n ) vahelisekskauguseks
d (P, Q) nimetatakse ruumi R n vektori, mille alguspunktiks on
ruumi R n punkt P ja l~opppunktiks ruumi R n punkt Q, st
−→
P Q = (y 1 − x 1 , . . . , y n − x n ) , pikkust:
d (P, Q) def.
=
∣ −→ ∣ ∣∣ P Q =
√(y 1 − x 1 ) 2 + . . . + (y n − x n ) 2 .
Definitsioon 5. Hulka U ε (P ) = {Q | (Q ∈ R n ) ∧ (d (Q, P ) < ε)} nimetatakse
punkti P ∈ R n ε-ümbruseks.
Definitsioon 6. Punkti P ∈ R n nimetatakse hulga Ω ⊂ R n rajapunktiks,
kui suvalise ε > 0 korral sisaldab punkti P ∈ R n ε-ümbrus nii hulga Ω punkte
kui ka hulka Ω mittekuuluvaid ruumi R n punkte.
Näide 1. Punkt P ( 3; √ 7/2 ) on piirkonna
}
Ω =
{(x, y) | x2
16 + y2
4 ≤ 1
rajapunkt, sest suvalise ε > 0 korral on tingimusega
( √ ) 2
(x − 3) 2 7
+ y − < ε 2
2