MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

126 PEATÜKK 2. READ
2 ◦ Vaatleme analoogilist probleemi trigonomeetrilise süsteemi
{
1, cos πx
l
, sin
πx
l
, cos
2πx
l
, sin 2πx
l
, . . . , cos kπx
l
, sin kπx , . . .
l
}
(2.14.6)
korral. Süsteemi (2.14.6) funktsioonid on perioodiga 2l. T~oesti konstantse funktsiooni
1 perioodiks sobib suvaline positiivne arv ja
(
kπ x + 2l )
( )
k kπx
cos
= cos + 2π = cos kπx (k ∈ N)
l
l
l
ja
sin
(
kπ x + 2l )
k
l
( ) kπx
= sin + 2π = sin kπx
l
l
(k ∈ N) .
Seega on selle süsteemi elementide ühine periood 2l. Süsteemi (2.14.6) funktsioonid
on ortogonaalsed l~oigul [−l, l] , st kehtivad seosed
〈
1, cos kπx 〉 〈
= 0, 1, sin kπx 〉
= 0 (k ∈ N) ,
l
l
〈
〈
cos kπx
l
, sin mπx 〉
l
〉
cos kπx , cos mπx
l l
T~oestame neist kolmanda seose
〈
cos kπx
l
= l π
=
Olgu antud trigonomeetriline rida
= 0 (k, m ∈ N) ,
〈
= 0,
sin kπx , sin mπx
l l
, sin mπx 〉
= ∫ l− kπx
cos
l
−l
[
l
t = πx
l , x = lt π , dx = l ]
π dt =
〉
= 0 (k, m ∈ N, k ≠ m) .
sin mπx dx =
l
∫ π
cos kt sin mt dt = 0 (k, m ∈ N) .
−π
a 0
2 + ∞ ∑
n=1
a n cos nπx
l
+ b n sin nπx
l
2l-perioodilise süsteemi (2.14.6) järgi, kusjuures l~oigul [−l, l] olgu selle rea summa
f(x) integreeruva ruuduga funktsioon. Seega kehtib seos
f(x) = a ∞
0
2 + ∑
a n cos nπx
l
n=1
+ b n sin nπx . (2.14.7)
l