MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

200 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
Näide 1. Arvutame joonintegraali
∫
Γ
xdx + ydy + (x + y − 1) dz,
kui Γ on sirgl~oik punktist A(1; 1; 1) punkti B(2; 3; 4).
Et punkte A ja B läbiva sirge sihivektor on −→ AB = (1; 2; 3), siis sirgl~oigu Γ
v~oime esitada parameetriliste v~orranditega
⎧
⎨
⎩
x = 1 + t
y = 1 + 2t
z = 1 + 3t
t ∈ [0; 1] ,
kusjuures A korral t = 0 ja B korral t = 1. Rakendame Lauset 3. Valemi (3.10.6)
abil saame
∫
xdx + ydy + (x + y − 1) dz =
Γ
=
1∫
((1 + t) · 1 + (1 + 2t) · 2 + (1 + t + 1 + 2t − 1) · 3) dt = 13. ♦
0
Näide 2. Arvutame joonintegraali
∫
(x − 3xy) dx + ( x 2 − y 3) dy,
AB
kus joon AB on antud v~orrandiga
y = x 2 − x (x ∈ [−1; 1]) .
Veenduge, et Järeldus 1 on rakendatav. Valemi (3.10.7) abil saame
∫
AB
=
(x − 3xy) dx + ( x 2 − y 3) dy =
1∫
−1
(
x − 3x ( x 2 − x ) (
+ x 2 − ( x 2 − x ) ) )
3
(2x − 1) dx = 16 3 .
3.11 Greeni valem
Kirjeldame järgnevalt seost tasandilise teist liiki joonintegraali ja kahekordse
integraali vahel. Kehtib väide.
♦