MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

3.7. MUUTUJATE VAHETUS KOLMEKORDSES INTEGRAALIS 183
3) teisenduse (3.7.1) jakobiaan
x u x v x w
J(u, v, w) =
y u y v y w
∣ z u z v z w
∣ ∣∣∣∣∣
≠ 0 ((u, v, w) ∈ ∆) .
Kehtib järgmine väide (vt [9] , lk 313-316).
Lause 1. Kui funktsioon f (x, y, z) on pidev piirkonnas Ω ja teisendus (3.7.1)
on regulaarne piirkonnas ∆ ning teisendab piirkonna ∆ piirkonnaks Ω, siis
∫∫∫
f(x, y, z)dxdydz =
= ∫∫∫
∆
Ω
f(x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w)) | J (u, v, w)| du dvdw.
(3.7.2)
Märkus 1. Valem (3.7.2) kehtib ka juhul, kui teisendus (3.7.1) ei ole regulaarne
l~oplikus arvus punktides v~oi l~oplikul arvul joontel ja pindadel, mille
ruumala on null.
Vaatleme üleminekut silinderkoordinaatidele, vt (1.1.1), kus teisendus (3.7.1)
on kujul
⎧
⎨ x = ρ cos ϕ
y = ρ sin ϕ ((ϕ, ρ, z) ∈ ∆)
⎩
z = z
ja
J(ϕ, ρ, z) =
∣
=
∣
−ρ sin ϕ cos ϕ 0
ρ cos ϕ sin ϕ 0
0 0 1
∣
x ϕ x ρ x z ∣∣∣∣∣
y ϕ y ρ y z =
z ϕ z ρ z z
= −ρ ≠ 0,
∣
kui ρ ≠ 0. Lause 1 ja Märkuse 1 abil saame
∫∫∫
∫∫∫
f(x, y, z)dxdydz = f(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z)ρ dϕ dρdz. (3.7.3)
Ω
∆
Kui piirkond Ω on silinderkoordinaatides piiratud küljelt pooltasanditega ϕ = α
ja ϕ = β ning püstsilindritega ρ = ρ 1 (ϕ) ja ρ = ρ 2 (ϕ) ning alt ja ülalt vastavalt
pindadega z = z 1 (ϕ, ρ) ja z = z 2 (ϕ, ρ) , siis omandab valem (3.7.3) kuju
∫∫∫
Ω
∫ β ρ∫
2(ϕ)
f(x, y, z)dxdydz = dϕ ρdρ
∫
z 2(ϕ,ρ)
α ρ 1(ϕ) z 1(ϕ,ρ)
f(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z)dz . (3.7.4)