MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.11. ORTOGONAALSED POLÜNOOMID 115
Märkus 2. Juhul kui l~oigul [a, b] vaadeldavate funktsioonide väärtused on
kompleksarvulised, siis
〈f, g〉 def.
=
∫ b
a
f(x)g(x)dx,
kus g(x) on kompleksarvu g(x) kaaskompleksarv. Omadused 2 ja 3 on siis vastavalt
kujul
〈f, g〉 = 〈g, f〉, 〈λf, g〉 = λ 〈f, g〉 (λ ∈ C) ,
kusjuures
〈f, λg〉 = λ 〈f, g〉 .
Definitsioon 4. Integreeruva ruuduga funktsioonide süsteemi
{ϕ k } (k ∈ N 0 )
nimetatakse ortogonaalseks l~oigul [a, b] , kui
〈ϕ k , ϕ m 〉 = 0 (k ≠ m) ,
kusjuures skalaarkorrutis on defineeritud valemiga (2.11.1).
Definitsioon 5. Integreeruva ruuduga funktsioonide süsteemi
{ϕ k } (k ∈ N 0 )
nimetatakse ortonormeerituks l~oigul [a, b] , kui
kusjuures
on Kroneckeri sümbol.
δ k,m =
〈ϕ k , ϕ m 〉 = δ k,m ,
{ 0, kui k ≠ m,
1, kui k = m
Definitsioon 6. Suurust √ 〈f, f〉 nimetatakse integreeruva ruuduga funktsiooni
f(x) normiks ja tähistatakse sümboliga ‖f‖ , s.o
‖f‖ def.
= √ 〈f, f〉. (2.11.2)
Märkus 3. Kuna Definitsiooni 6 abil defineeritud integreeruva ruuduga
funktsiooni f(x) normi korral
‖f‖ = 0 (f(x) = 0 (∀x ∈ [a, b])) ,
siis oleks korrektsem (vt [16], lk 130) nimetuse norm asemel kasutada poolnormi
nimetust.