MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

1.7. PINNA PUUTUJATASAND JA NORMAAL 35
st esimene n~outud seostest on t~oestatud. Kirjapildid y z ja z x eeldavad vastavalt
s~oltuvust y = y(x, z) ja s~oltuvust z = z(x, y). Leiame, et y z = −F z /F y ja
z x = −F x /F z . Seega saame
y z · z x · x y = (−F z /F y ) (−F x /F z ) (−F y /F x ) = −1,
st ka teine seostest on t~oestatud.
♦
1.7 Pinna puutujatasand ja normaal
Olgu pind Σ antud v~orrandiga z = f(x, y), kusjuures f(x, y) on diferentseeruv
funktsioon. Saab t~oestada, et funktsiooni f(x, y) diferentseeruvus punktis T (x, y)
on tarvilik ja piisav pinna Σ puutujatasandi olemasoluks punktis P (x, y, f(x, y)).
Meie piirdume selle puutujatasandi v~orrandi leidmisega. Valime sel pinnal veel
punktid
Q (x + ∆x, y, f(x + ∆x, y)) , R (x, y + ∆y, f(x, y + ∆y)) .
Pinna Σ puutujatasandi punktis P (x, y, f(x, y)) saame punkte P, Q ja R läbiva
l~oikajatasandi piirseisuna, punktide Q ja R piiramatul lähenemisel punktile
P. Olgu S (ξ, η, ς) selle l~oikajatasandi suvaline punkt. Punkt S on selle
l~oikajatasandi punkt parajasti siis, kui vektorid −→ P S = (ξ − x, η − y, ς − f(x, y)) ,
−→
−→
P Q = (∆x; 0; f(x + ∆x, y) − f(x, y)) , P R = (0; ∆y; f(x, y + ∆y) − f(x, y))
on komplanaarsed, st nende vektorite segakorrutis on null. Seega leiame, et
∣
ξ − x η − y ς − f(x, y)
∆x 0 ∆ ∆x z
0 ∆y ∆ ∆y z
∣ = 0,
kus ∆ ∆x z = f(x + ∆x, y) − f(x, y) ja ∆ ∆y z = f(x, y + ∆y) − f(x, y).
lihtsustamist saame v~orrandiks
Peale
− (∆ ∆x z) (∆y) (ξ − x) − (∆ ∆y z) (∆x) (η − y) + (∆x) (∆y) (ς − f(x, y)) = 0
ehk
ς − f(x, y) = ∆ ∆xz
∆x
(ξ − x) + ∆ ∆yz
∆y
(η − y) .
V~otame viimase seose m~olemast poolest piirväärtuse, valides piirprotsessiks (∆x, ∆y) →
(0; 0) . Soovitud puutujatasandi v~orrandiks on
ehk
ς − f(x, y) = f x (x, y) (ξ − x) + f y (x, y) (η − y) (1.7.1)
f x (x, y) (ξ − x) + f y (x, y) (η − y) − (ς − f(x, y)) = 0.
Viimasest v~orrandist on leitav v~orrandiga z = f(x, y) antud pinna normaalvektor
punktis P (x, y, f(x, y)) : n = (f x (x, y) , f y (x, y) , −1) . Et vektor n on