MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

122 PEATÜKK 2. READ
ja
v~oi
Valiku d k = a k korral järeldub seosest (2.13.4)
‖f (x) − S n (x)‖ 2 = 〈f, f〉 −
〈f, f〉 −
〈f, f〉 ≥
n∑
ak 2 (n ∈ N 0 ) (2.13.5)
k=0
n∑
ak 2 ≥ 0 (n ∈ N 0 )
k=0
n∑
ak 2 (n ∈ N 0 ) . (2.13.6)
k=0
Minnes soses (2.13.5) piirile n → ∞, saame Besseli v~orratuse
V~ordust
〈f, f〉 ≥
〈f, f〉 =
∞∑
ak 2 .
k=0
∞∑
ak 2 (2.13.7)
nimetatakse Parsevali v~orduseks. Seostest (2.13.5) ja (2.13.7) järeldub järgmine
väide.
Lause 2. Funktsiooni f(x) Fourier’ rida (2.13.3) koondub keskmiselt funktsiooniks
f(x) parajasti siis, kui funktsiooni f(x) korral kehtib Parsevali v~ordus
(2.13.7).
Definitsioon 1. Ortonormaalset süsteemi {ϕ k (x)} (k ∈ N 0 ) , mille korral
Parsevali v~ordus (2.13.7) kehtib iga integreeruva ruuduga funktsiooni f(x) korral,
nimetatakse täielikuks süsteemiks.
2.14 Fourier’ rida trigonomeetrilise süsteemi
järgi
Vaatleme kaht juhtu, esiteks Fourier’ rida 2π-perioodilise trigonomeetrilise
süsteemi järgi ja teiseks 2l-perioodilise trigonomeetrilise süsteemi järgi.
1 ◦ Jaotises 2.11 näitasime 2π-perioodilise trigonomeetrilise süsteemi (2.11.5)
ortogonaalsust l~oigul [−π, π] . Koondugu rida
a 0
k=0
∞
2 + ∑
a k cos kx + b k sin kx (2.14.1)
k=1
keskmiselt integreeruva ruuduga funktsiooniks f(x), st
f(x) = a ∞ 0
2 + ∑
a k cos kx + b k sin kx (x ∈ [−π, π]) . (2.14.2)
k=1