MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

196 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
kusjuures kokkuleppeliselt jätame parempoolses summas sulud ära.
Definitsioon 1. Kui eksisteerib piirväärtus
n∑
lim X (Q i ) ∆x i + Y (Q i ) ∆y i + Z (Q i ) ∆z i , (3.10.2)
max ∆s i→0
i=1
mis ei s~oltu joone Γ osakaarteks jaotamise viisist ja punkti Q i valikust osakaarel
P i−1 P i (i = 1; . . . ; n) , siis nimetatakse seda piirväärtust teist liiki joonintegraaliks
(ehk joonintegraaliks projektsioonide järgi) funktsioonist F mööda joont Γ
punktist A punkti B ja tähistatakse
∫
X(x, y, z) dx + Y (x, y, z) dy + Z(x, y, z) dz (3.10.3)
AB
ehk
∫
AB
X(P ) dx + Y (P ) dy + Z(P ) dz,
∫
AB
X dx + Y dy + Z dz ,
∫
AB
F dr.
Märkus 1. Kui piirkonnas Ω paikneva joone Γ igas punktis P m~ojub masspunktile
j~oud F (P ) , siis ∫ F dr esitab masspunkti liikumisel punktist A punkti B
AB
piki joont AB tehtud töö.
Joonintegraali vektorist F piki kinnist joont Γ nimetatakse vektori F tsirkulatsiooniks
ehk ringintegraaliks piki joont Γ ja tähistatakse ∮ Γ F dr.
Liikumise suunda piki tasandil (täpsemini selle tasandi fikseeritud poolel)
paiknevat kinnist joont Γ nimetatakse positiivseks, kui mööda joont Γ liikudes
jääb Γ poolt h~olmatav piirkond vasakule. Kui järgnevas ei ole fikseeritud tasandil
paikneva kinnise joone läbimise suunda, siis eeldatakse vaikimisi, et seda joont
läbitakse positiivses suunas.
Sileda joone Γ korral on teist liiki joonintegraal taandatav esimest liiki joonintegraaliks.
Lause 1. Kui sile joon AB on esitatud parameetriliste v~orranditega (3.9.5)
ja funktsioonid X, Y, Z on pidevad joonel AB, siis
∫
∫
X dx + Y dy + Z dz = (X cos α + Y cos β + Z cos γ) ds, (3.10.4)
AB
AB
kus cos α, cos β ja cos γ on vektori dr suunakoosinused.
T~oestus. R~ohutame, et α = α (P ) , β = β (P ) ja γ = γ (P ) . Piirdume seose
∫ ∫
X dx = X cos α ds (3.10.5)
AB
AB
AB
t~oestamisega. Analoogiliselt t~oestatakse seosed
∫ ∫
∫ ∫
Y dy = Y cos β ds, Z dz = Z cos γ ds.
AB
AB
AB