MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

218 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
Kasutame Definitsiooni 3.13.3 ja Gauss-Ostrogradski valemit (3.14.1):
∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
)
Fn dσ = div F dV =
((xy) x
+ (z + x) y
+ (y − z) z
dV =
Σ
Ω
Ω
∫∫∫
=
Ω
∫ 1 ∫ 1 ∫ 1
(y + 0 − 1) dV = dx dy (y − 1) dz =
0 0 0
=
∫ 1
0
dx
∫ 1
0
(y − 1) dy =
∫ 1
0
( ) ∣ 1
y
2 ∣∣∣∣
dx
2 − y
0
= − 1 2 . ♦
Lause 2 (Stokesi valem). Kui kahepoolse tükiti sileda pinna Σ rajajoon Γ
on tükiti sile ja vektori F komponendid X, Y, Z ning nende osatuletised X y ,
X z , Y x , Y z , Z x , Z y on pidevad pinna Σ punktides, siis
∮ ∫∫
Fdr = (rot F) n dσ, (3.14.2)
Γ
Σ
kus joonintegraal on v~oetud positiivses suunas (pinna Σ külje suhtes, piki mida
integreeritakse).
Näide 4. Arvutada Stokesi valemi abil joonintegraal
∮
x 2 y 3 dx + y 2 dy + zdz,
Γ
kus Γ on püstsilindri x 2 +y 2 = R 2 ja tasandi z = 0 l~oikejoon ning Σ on poolsfäär
z = √ R 2 − x 2 + y 2 . Integreerimine toimub üle poolsfääri pinnapoole, mille
n
z ✻
❆❑ . .
❆
. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .
.. .........
..
x
✟✙
✟
.
.. .. ..
.
. .
.
z = √ R 2 − x 2 − y 2
. .
.
.
Σ .
.
.
.
.
.
.
.
. R ✲
y
.. .
..
. ..
.
.
.
.
..
Γ
normaalvektor moodustab z-telje positiivse suunaga teravnurga.
Stokesi valemi abil saame
∮
∫∫
x 2 y 3 dx + y 2 ( (
dy + zdz = ∇ × x 2 y 3 , y 2 , z )) n dσ =
Γ
Σ
... .
.
.
.
✻