MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

120 PEATÜKK 2. READ
2.12 Fourier’ rida ortogonaalse süsteemi korral
Olgu integreeruva ruuduga funktsioonide süsteem
ortogonaalne l~oigul [a, b] .
Definitsioon 1. Funktsionaalrida
c 0 ϕ 0 (x) + c 1 ϕ 1 (x) + . . . + c k ϕ k (x) + . . . =
{ϕ k (x)} (k ∈ N 0 ) (2.12.1)
∞∑
c k ϕ k (x) (2.12.2)
nimetatakse ortogonaalreaks süsteemi (2.12.1) järgi. Oletame, et rida (2.12.2)
koondub keskmiselt funktsiooniks f(x), s.o
∞∑
f(x) = c k ϕ k (x). (2.12.3)
k=0
Avaldame seosest (2.12.3) kordajad c k funktsiooni f(x) kaudu. Korrutades seose
(2.12.3) m~olemat poolt suurusega ϕ k (x) ja integreerides seejärel saadud seose
m~olemat poolt, saame
∫ b
∫ b ∞∑
f(x)ϕ m (x)dx = c k ϕ k (x)ϕ m (x)dx. (2.12.4)
a
a
Lause 2.11.2 p~ohjal v~oime seose (2.12.4) paremas pooles muuta integreerimise
ja summeerimise järjekorda. Saame
∫ b
∞∑
∫ b
f(x)ϕ m (x)dx = c k ϕ k (x)ϕ m (x)dx
ehk
a
〈f, ϕ m 〉 =
k=0
k=0
a
k=0
∞∑
c k 〈ϕ k , ϕ m 〉 . (2.12.5)
k=0
Et süsteem {ϕ k (x)} (k ∈ N 0 ) on ortogonaalne l~oigul [a, b] , siis 〈ϕ k , ϕ m 〉 = 0
(k ≠ m) , ja seosest (2.12.5) saame
ehk
〈f, ϕ m 〉 = c m 〈ϕ m , ϕ m 〉 ⇒ c m = 〈f, ϕ m〉
〈ϕ m , ϕ m 〉
(m ∈ N 0 )
c k = 〈f, ϕ k〉
(k ∈ N 0 ) . (2.12.6)
〈ϕ k , ϕ k 〉
Erijuhul, kui tegemist on ortonormeeritud süsteemiga {ϕ k (x)} (k ∈ N 0 ) , omandab
valem (2.12.6) kuju
c k = 〈f, ϕ k 〉 (k ∈ N 0 ) . (2.12.7)
Definitsioon 2. Ortogonaalrida (2.12.2), mille kordajad on leitud valemi
(2.12.6) abil, nimetatakse funktsiooni f(x) Fourier’ reaks ortogonaalse süsteemi
(2.12.1) järgi. Kordajaid c k (k ∈ N 0 ) nimetatakse funktsiooni f(x) Fourier’
kordajateks süsteemi (2.12.1) järgi.