MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

150 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
= lim
max d i→0
i=1
n∑
f (P i ) ∆S i +
D
D
lim
max d i→0
i=1
∫∫
∫∫
= f(P )dS + g(P )dS.
n∑
g (P i ) ∆S i =
Lausetest 3 ja 4 järeldub kahekordse integraali lineaarsuse omadus.
Lause 5. Kui D = D I ∪ D II , kus D I ∩ D II koosneb vaid piirkondade
D I ja D II ühistest rajapunktidest, ning eksisteerivad integraalid ∫∫ D I
f(P )dS,
∫∫
D II
f(P )dS ja ∫∫ f(P )dS, siis
D
∫∫
∫∫
∫∫
f(P )dS = f(P )dS + f(P )dS. (3.1.2)
D
D I D II
T~oestus. Esitame integraalsumma kujul
n∑
f (P i ) ∆S i =
i=1
∑n I
i=1
f (P i ) ∆S i +
n∑
i=n I +1
□
f (P i ) ∆S i , (3.1.3)
kusjuures piirkonna D osapiirkondadeks jagamisel on ühe joonena kasutatud
piirkondade D I ja D II ühist rajajoont ja osapiirkonnad D 1 , . . . , D nI on saadud
piirkonna D I jaotamisel ning D nI +1, . . . , D n on saadud piirkonna D II jaotamisel.
Et
n∑
∫∫
lim f (P i ) ∆S i = f(P )dS
max d i→0
i=1
ja piirprotsessis max d i → 0 eksisteerib piirväärtus m~olemast seose (3.1.3) paremal
poolel esinevast summast, siis piirväärtus summast on piirväärtuste summa
ning
lim
max d i→0
i=1
st seos (3.1.2) kehtib.
siis
n∑
f (P i ) ∆S i =
□
lim
D
∑n I
max d i→0
i=1
+ lim
n∑
max d i→0
i=n I +1
f (P i ) ∆S i +
f (P i ) ∆S i ,
Lause 6. Kui eksisteerivad integraalid ∫∫ D f(P )dS ja ∫∫ g(P )dS ning
D
f(P ) ≤ g(P ) (P ∈ D) , (3.1.4)
∫∫
∫∫
f(P )dS ≤ g(P )dS. (3.1.5)
D
T~oestus. Et integraalid ∫∫ D f(P )dS ja ∫∫ D
g(P )dS eksisteerivad, siis kahekordse
integraali definitsioonis esinevad piirväärtused ei s~oltu piirkonna D
D