MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

1.8. TAYLORI VALEM 39
Lause 1. Kui funktsioon f(x, y) on n + 1 korda diferentseeruv punktis
P (x, y), siis kehtib n-järku Taylori valem (1.8.2), mille jääkliige R n (x, y) avaldub
kujul (1.8.3).
kus
Erijuhul n = 1 saame tulemuseks
f(x + ∆x, y + ∆y) = f(x, y) + f x (x, y)∆x + f y (x, y)∆y + R 1 (x, y) , (1.8.4)
R 1 (x, y) = 1 2! (f xx(x + θ ∆x, y + θ ∆y) (∆x) 2 +
+2f xy (x + θ ∆x, y + θ ∆y)∆x∆y + f yy (x + θ ∆x, y + θ ∆y) (∆y) 2 ).
V~orrelge valemeid (1.4.4) ja (1.8.4).
Näide 1. Näites 1.4.2 leidsime valemi (1.4.4) abil, et
(1.8.5)
ln( 3√ 1.06 + 4√ 0.96 − 1) ≈ 0.01.
Hindame viga.
Leiame abifunktsiooni f(x, y) = ln ( 3 √ x + 4√ y − 1 ) teist järku osatuletised
Valemi (1.8.5) abil saame
f xx (x, y) = − 1
9 3√ x 5 3 3√ x + 2 4√ y − 2
(
3
√ x +
4 √ y − 1 ) 2 ,
1
f xy (x, y) = −
12 3√ x ( √ 2 3
x + 4√ y − 1 ) 2 √ ,
4
y
3
f yy (x, y) = − 1
16 4√ y 7 3 3√ x + 4 4√ y − 3
(
3
√ x +
4 √ y − 1 ) 2 .
R 1 (1, 1) = 1 2! (− 1 3 3√ 1 + 0.06 · θ + 2 4√ 1 − 0.04 · θ − 2
√
( √ √
9 3 (1 + 0.06 · θ) 5 3
1 + 0.06 · θ +
4
1 − 0.04 · θ − 1 ) 2 0.062 +
2 (0.06) (−0.04)
− √
12 3 (1 + 0.06 · θ) 2 ( √ 3
1 + 0.06 · θ + 4√ 1 − 0.04 · θ − 1 ) √
−
2 4
(1 − 0.04 · θ) 3
−
1 3 3√ 1 + 0.06 · θ + 4 4√ 1 − 0.04 · θ − 3
√
( √ √
16 4 (1 − 0.04 · θ) 7 3
1 + 0.06 · θ +
4
1 − 0.04 · θ − 1 ) 2 (−0.04)2 ).
Et 0 < θ < 1 korral
ja
1 ≤ 3√ 1 + 0.06 · θ ≤ 3√ 1 + 0.06 ≤ 1.06
0.96 ≤ √ 0.96 ≤ √ 1 − 0.04 · θ ≤ 1, 0.96 ≤ 4√ 0.96 ≤ 4√ 1 − 0.04 · θ ≤ 1,