MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

24 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
1.4 Funktsiooni täisdiferentsiaalid
Funktsiooni z = f(x, y) argumentide muudule (∆x, ∆y) vastav funktsiooni
muut ∆z avaldub kujul
∆z = f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y) =
kusjuures
= (f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y + ∆y)) + (f(x, y + ∆y) − f(x, y)) =
= f x (x + θ 1 ∆x, y + ∆y)∆x + f y (x, y + θ 2 ∆y)∆y =
= [eeldame osatuletiste f x ja f y pidevust punktis (x, y)] =
= (f x (x, y) + α) ∆x + (f y (x, y) + β) ∆y = f x (x, y)∆x + f y (x, y)∆y + γ,
lim α = 0,
(∆x,∆y)→(0;0)
lim β = 0 (1.4.1)
(∆x,∆y)→(0;0)
ja suurus γ = α∆x + √β∆y on k~orgemat järku l~opmata väike v~orreldes vektori
(∆x, ∆y) pikkusega (∆x) 2 + (∆y) 2 . T~oesti, v~orratuste ahelast
∣ ∣∣∣∣∣ α∆x + β∆y
≤
∣
√(∆x) 2 + (∆y) 2
|α| |∆x|
√(∆x) 2 + (∆y) 2 +
≤ |α| + |β|
|β| |∆y|
√(∆x) 2 + (∆y) 2 ≤
ja tingimustest (1.4.1) järeldub, et suurus γ = α∆x + β∆y on k~orgemat järku
l~opmata väike v~orreldes vektori (∆x, ∆y) pikkusega.
Definitsioon 1. Funktsiooni z = f(x, y) nimetatakse diferentseeruvaks punktis
P (x, y), kui argumendi muudule (∆x, ∆y) vastav funktsiooni muut
on esitatav kujul
∆z = f(x + ∆x, y + ∆yf(x, y)
∆z = f x (x, y)∆x + f y (x, y)∆y + γ, (1.4.2)
kus γ
√
on k~orgemat järku l~opmata väike suurus v~orreldes vektori (∆x, ∆y) pikkusega
(∆x) 2 + (∆y) 2 piirprotsessis (∆x, ∆y) → (0; 0) .
Järeldus 1. Kui funktsiooni z = f(x, y) osatuletised f x (x, y) ja f y (x, y) on
pidevad punktis P (x, y) , siis on funktsioon z = f(x, y) diferentseeruv punktis
P (x, y).
T~oestus järeldub alajaotuse algul esitatud arutelust. Nimelt lähtudes osatuletiste
f x ja f y pidevusest ~onnestus funktsiooni muudule ∆z anda esitus
(1.4.2). □
Saab näidata, et igal diferentseeruval funktsioonil on olemas esimest järku
osatuletised.
Järeldus 2. Kui funktsioon z = f(x, y) on diferentseeruv punktis P (x, y),
siis funktsioon f on pidev selles punktis.