MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

3.16. ÜLESANDED 227
87. ∮ ( y
) xdy − ydx
Γ f x x 2 (f on suvaline diferentseeruv funktsioon). V: 0.
88. ∮ (f(x + y) + f(x − y)) dx + (f(x + y) − f(x − y)) dy (f on suvaline diferentseeruv
funktsioon). V: 0.
Γ
89. Arvutage Greeni valemi abil ∮ Γ ey dx+e −x dy, kui Γ on kolmnurga, tippudega
A (0; 0) , B (1; 0) ja C (1; 1) , rajajoon. V: 2 − e − 1/e.
90. Arvutage Greeni valemi abil ∮ Γ 2xy dx + x2 dy, kui Γ on ruudu |x| + |y| = 1
rajajoon. V: 0.
91. Leidke Greeni valemi abil ∮ Γ arctan y x dy − ln √ x + ydx, kui Γ on ringjoon
x 2 + y 2 = R 2 . V: 0.
92. Näidake Greeni valemi abil, et joonintegraal 1 ∮
3
Γ x3 dy − y 3 dx v~ordub tükiti
sileda joone Γ poolt piiratud ühtlase tihedusega ρ(x, y) = 1 plaadi inertsmomendiga
koordinaatide alguspunkti suhtes.
93. Arvutage ∫ (2;3)
ydx + xdy . V: 8.
(−1;2)
94. Arvutage ∫ (2;2) xdx + ydy
√
(1;1) x2 + y . V: √ 2.
2
95. Taastage joonintegraali abil kahe muutuja funktsioon u tema täis
diferentsiaali du = x 2 dx + y 2 dy p~ohjal. V: ( x 3 + y 3) /3 + C.
Ülesannetes 96–99 leidke joonintegraali abil kinnise joonega piiratud
kujundi pindala:
96. x = a cos 3 t, y = a sin 3 t (0 ≤ t ≤ 2π). V: 3πa 2 /8.
97. (x + y) 3 = xy. V: 1/60.
98. (x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 (x 2 − y 2 ). V: 2a 2 .
99. x 3 + y 3 − 3xy = 0. V: 3/2.
Ülesannetes 100–105 arvutage pindintegraal üle antud pinna Σ :
∫∫
100.
Σ (z + 2x + 4y/3)dσ, kus Σ on tasandi x 2 + y 3 + z = 1 osa, mis on
4
esimeses kaheksandikus. V: 4 √ 61.
101. ∫∫ (
Σ x 2 + y 2) dσ, kus Σ on koonuse z = √ x 2 + y 2 see osa, mis rahuldab
tingimusi 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4. V: 15 √ ∫∫
2π/2.
102.
Σ xdσ, kus Σ on sfääri x2 + y 2 + z 2 = R 2 osa, mis on esimeses kaheksandikus.
V: πR 3 /4.
∫∫ √
103. R2 − x
Σ 2 − y 2 dσ, kus Σ on poolsfäär z = √ R 2 − x 2 − y 2 . V: πR 3 .
104. ∫∫ (x + y − z)dσ, kus Σ on oktaeedri |x| + |y| + |z| = 1 tahk, mille korral
Σ
x ≤ 0, y ≤ 0 ja z ≥ 0. V: − √ 3/2.
105. ∫∫ dσ
Σ
2
, kus Σ on tetraeedri x+y +z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
(1 + x + y + z)
kogu välispind. V: √ 3/8 − 3/2 + 3 ln 2.
106. Leidke pindtihedusega ρ(x, y, z) = 1 kolmnurkse kooriku x + y + z = 1
(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) inertsmoment koordinaatide alguspunkti suhtes. V: √ 3/4.
107. Leidke paraboolse kooriku z = ( x 2 + y 2) /2 (0 ≤ z ≤ 1) , pindtihedusega
ρ(x, y, z) = z, mass. V: ( 2 + 12 √ 3 ) π/15.