MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

58 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
Näide 5. Leiame, millises suunas muutub funktsioon
u = cos (xy) + sin (yz)
punktis P (2; π/4; 1) k~oige kiiremini.
Et funktsioon kasvab gradiendi suunas k~oige kiiremini ja vastassuunas kahaneb
k~oige kiiremini, siis leiame funktsiooni u gradiendi
grad u = (−y sin (xy) , −x sin (xy) + z cos (yz) , y cos (yz)) .
Seega kasvab vektori
(grad u)| P (2;π/4;1)
=
(
− 1 4 π, −2 + 1 )
√ 1 2,
2 8 π√ 2
suunas funktsioon u punktis P k~oige kiiremini ja selle vektori vastassuunas kahaneb
k~oige kiiremini. ♦
Funktsiooni f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) (n ≥ 2) gradient punktis P (x 1 , x 2 , . . . , x n )
defineeritakse kujul
(grad f) (x) def.
= ∇f = (f x1 (x) , f x2 (x) , . . . , f xn (x))
ja funktsiooni f suunatuletis selles punktis vektori l = (l 1 , l 2 , . . . , l n ) suunas avaldub
kujul
∂f
∂l (x) = f x 1
(x) cos α 1 + f x2 (x) cos α 2 + . . . + f xn (x) cos α n
ehk lühidalt
∂f
∂l = (grad f) · lo ,
kus x =(x 1 , x 2 , . . . , x n ) ja l o = 1
|l| l = (cos α 1, cos α 2 , . . . , cos α n ) on vektori l
suunaline ühikvektor, st
cos α k =
l k
√
l
2
1 + l 2 2 + . . . + l2 n
(k = 1, . . . , n) .