MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool
MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool
MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
174 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS<br />
st<br />
∫∫∫<br />
Ω<br />
f(P ) dV def.<br />
= lim<br />
max d i→0<br />
i=1<br />
n∑<br />
f (P i ) ∆V i , (3.5.1)<br />
kus f (P i ) = f (ξ i , η i , ς i ) .<br />
Olgu I(Ω) k~oigi piirkonnas Ω integreeruvate funktsioonide hulk. Kolmekordse<br />
integraali omadused on analoogilised kahekordse integraali omadustega.<br />
Lause 1. Kehtivad järgmised väited.<br />
1. Funktsiooni pidevusest piirkonnas järeldub funktsiooni integreeruvus selles<br />
piirkonnas, st<br />
f(P ) ∈ C (Ω) ⇒ f(P ) ∈ I (Ω) .<br />
2. Piirkonnas Ω on konstantne funktsioon 1 integreeruv, kusjuures integraali<br />
väärtuseks on piirkonna Ω ruumala V Ω , st<br />
∫∫∫<br />
(1 ∈ I (Ω)) ∧ 1 dV = V Ω .<br />
3. Funktsiooni f(P ) integreeruvusest piirkonnas Ω järeldub funktsiooni c f(P )<br />
integreeruvus selles piirkonnas, st<br />
kusjuures<br />
f(P ) ∈ I (Ω) ⇒ c f(P ) ∈ I (Ω) (c – konstant) ,<br />
∫∫∫<br />
Ω<br />
Ω<br />
∫∫∫<br />
c f(P ) dV = c<br />
Ω<br />
f(P ) dV.<br />
4. Kui funktsioonid f(P ) ja g(P ) on integreeruvad piirkonnas Ω, siis ka nende<br />
funktsioonide summa on integreeruv selles piirkonnas ning summa integraal on<br />
integraalide summa, st<br />
∧<br />
(f(P ), g(P ) ∈ I (Ω)) ⇒ (f(P ) + g(P )) ∈ I (Ω) ∧<br />
( ∫∫∫<br />
(f(P ) + g(P )) dV = ∫∫∫<br />
f(P )dV + ∫∫∫<br />
Ω<br />
Ω<br />
Ω<br />
)<br />
g(P ) dV .<br />
5. Kui funktsioon f(P ) on integreeruv piirkonnas Ω ja piirkond Ω on jaotatud kahe<br />
ühiseid sisepunkte mitteomava piirkonna Ω I ja Ω <strong>II</strong> summaks, siis funktsioon<br />
f(P ) on integreeruv piirkondades Ω I ja Ω <strong>II</strong> ning funktsiooni f(P ) integraal üle<br />
Ω v~ordub integraalide summaga üle Ω I ja Ω <strong>II</strong> , st<br />
⇒<br />
(<br />
∫∫∫<br />
Ω<br />
(f(P ) ∈ I (Ω)) ∧ (Ω = Ω I<br />
f(P ) dV = ∫∫∫<br />
Ω I<br />
∪ Ω <strong>II</strong> ) ⇒<br />
f(P ) dV + ∫∫∫<br />
Ω <strong>II</strong><br />
f(P ) dV<br />
)<br />
.
Change language