MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

3.12. JOONINTEGRAALIDE RAKENDUSED 207
=
=
= 1 8
ln(1+ √ 2)
∫
0
ln(1+ √ 2)
∫
0
(
4 sh 2 u ) ( √ ) (√ )
2ch u 2ch u du =
( sh 4u
(ch 4u − 1) du =
4
ln(1+ √ 2)
∫
0
)∣ ∣∣∣
ln(1+ √ 2)
− u =
0
)
= 1 [
e 4 ln(1+√ 2) − e
−4 ln(1+ √ 2) ] (
− ln 1 + √ 2 =
8
[ (
1 + √ 4 (
2)
− 1 + √ ) ] −4 (
2 − ln 1 + √ )
2 ≈ 3. 361 27.
8 sh 2 u ch 2 u du =
Lause 3. Kui materiaalse sileda joone Γ joontihedus γ (x, y, z) on pidev funktsioon,
siis joone Γ massikeskme (x c , y c , z c ) koordinaadid avalduvad kujul
x c = 1 ∫
xρ (x, y, z) ds, (3.12.3)
m Γ
Γ
y c = 1
m Γ
∫
Γ
z c = 1
m Γ
∫
Γ
yρ (x, y, z) ds, (3.12.4)
zρ (x, y, z) ds (3.12.5)
ja joone Γ inertsmomendid x-telje, y-telje, z-telje ning nullpunkti suhtes avalduvad
kujul
∫
(
I x = y 2 + z 2) ρ (x, y, z) ds, (3.12.6)
ja
Γ
∫
(
I y = x 2 + z 2) ρ (x, y, z) ds (3.12.7)
Γ
∫
(
I z = x 2 + y 2) ρ (x, y.z) ds. (3.12.8)
Γ
Joone inertsmoment I O nullpunkti O suhtes avaldub kujul
∫
(
I O = x 2 + y 2 + z 2) ρ (x, y, z) ds. (3.12.9)
Näide 3. Leiame materiaalse sirgl~oigu
Γ
x = 1 + t, y = 2 − 3t, z = 3 + 4t (0 ≤ t ≤ 1) ,
mille joontihedus on ρ(x, y, z) = xy 2 z, massikeskme koordinaadid ja inertsmomendid
x-telje, y-telje, z-telje ning nullpunkti suhtes.
♦