MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

194 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
Saab näidata, et v~orranditega (3.9.1) esitatud tükiti sile joon on sirgestuv.
Kuigi esimest liiki joonintegraali arvutamiseks saab kasutada valemit (3.9.7),
on sileda joone Γ korral selleks otstarbekas kasutada valemit (3.9.8). Nimelt
sileda joone korral
ds =
ja seosest (3.9.7) järeldub seos (3.9.8).
√
(dx) 2 + (dy) 2 + (dz) 2
Lause 2. Kui sile joon AB on esitatud parameetriliste v~orranditega (3.9.1),
kus parameetri t väärtusele α vastab punkt A ja väärtusele β punkt B, ning
funktsioon f on pidev joone Γ punktides, siis
∫
AB
f(P ) ds =
∫ β
α
√ (dx ) 2
f(x(t), y(t), z(t)) +
dt
( ) 2 dy
+
dt
( ) 2 dz
dt. (3.9.8)
dt
Järeldus 1. Kui sile joon AB on antud xy-tasandil v~orrandiga
y = y(x) (x ∈ [a, b]) ,
kusjuures punktis A x = a ja punktis B x = b, siis
∫
AB
f(x, y) ds =
∫ b
Näide 1. Arvutame joonintegraali
∫
a
f(x, y(x))
Γ
ds
x − y ,
√
1 +
( ) 2 dy
dx. (3.9.9)
dx
kus Γ on sirge y = x − 2 l~oik punktide A(0; −2) ja B(4; 0) vahel.
2
Veenduge, et Järelduse 1 eeldused, kusjuures f(x, y) = 1/ (x − y) , y ′ = 1 2
ja a = 0 ning b = 4, on täidetud. Valemi (3.9.9) abil saame
∫
Γ
ds 4∫
x − y =
= √ 4∫
5
0
0
√
( ) 2
√
1
1 5 4∫
( x
) 1 + dx =
x −
2 − 2 2 2 0
1
x
2 + 2dx =
dx
x + 4 = √ 5 ln (x + 4)| 4 0 = √ 5 (ln 8 − ln 4) = √ 5 ln 2.
Näide 2. Arvutame joonintegraali ∫ (2z − √ )
x
Γ
2 + y 2 ds, kus joon Γ on
antud parameetriliste v~orranditega x = t cos t, y = t sin t, z = t (0 ≤ t ≤ 4π) .
♦