MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

92 PEATÜKK 2. READ
Näide 3. Uurime rea ∑ ∞ cos kx
k=0
k 2 + 1
Positiivne arvrida ∑ ∞
k=0
∫ +∞
0
dx
x 2 + 1 =
1
k 2 + 1
∫ A
lim
A→+∞ 0
ühtlast koonduvust.
on koonduv. T~oesti
dx
x 2 + 1 =
lim (arctan A − 0) = π A→+∞ 2 .
Seega integraaltunnuse p~ohjal on arvrida koonduv. Kehtib hinnang
cos kx
∣k 2 + 1∣ ≤ 1
k 2 (x ∈ R) .
+ 1
Rakendame Lauset 2. Uuritav funktsionaalrida koondub ühtlaselt k~oigi reaalarvude
hulgal R. ♦
Lause 3. Kui rea (2.7.1) liikmed u k (x) on pidevad hulgal X uc ja rida (2.7.1)
koondub ühtlaselt sel hulgal, siis rea (2.7.1) summa S(x) on hulgal X uc pidev
funktsioon.
T~oestus. Kui S n (x) = ∑ n−1
k=0 u k (x) ja R n (x) rea ∑ ∞
∑ k=n u k (x) summa, st
p
R n (x) = lim
p→∞
k=n u k (x) , siis
S(x) = S n (x) + R n (x) (x ∈ X uc , n ∈ N) .
Järelduse 1 p~ohjal leidub suvalise ε > 0 korral selline naturaalarv n 0 , et
|R n (x)| < ε/3 (x ∈ X uc , n > n 0 ) .
Olgu a ∈ X uc . Et funktsioon S n (x), kui n pideva funktsiooni summa, on pidev
punktis a, siis vastavalt etteantud arvule ε > 0 leidub selline arv δ, et
Leiame, et
(|x − a| < δ) ⇒ (|S n (x) − S n (a)| < ε /3) .
|S(x) − S(a)| = |(S n (x) + R n (x)) − (S n (a) + R n (a))| ≤
≤ |S n (x) − S n (a)| + |R n (x)| + |R n (a)|
≤ ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε,
|x−a|n0
≤
st funktsioon S(x) on pidev punktis a.
Lause 4. Kui l~oigul [a, b] integreeruvate funktsioonide rida (2.7.1) koondub
sel l~oigul ühtlaselt, siis rida (2.7.1) v~oib l~oigul [a, b] liikmeti integreerida, st
∫ b
a
k=0
□
(
∑ ∞
)
∞∑
u k (x) dx =
k=0
∫ b
a
u k (x) dx. (2.7.5)