MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.16. FOURIER’ REA KOMPLEKSKUJU 133
Lause 1. Suvaline funktsioon f(x), mis on l~oigul [−l, l] integreeruva ruuduga,
on sel l~oigul arendatav 2l-perioodilise trigonomeetrilise süsteemi järgi Fourier’
ritta komplekskujul
f(x) ∼
∞∑
k=−∞
c k exp (ikπx/l) , (2.16.7)
kusjuures Fourier’ kordajad c k on leitavad valemi (2.16.6) abil.
Näide 1. Leiame l~oigul [−2; 2] Haari funktsiooni
⎧
0, kui x < 0
⎪⎨
1, kui 0 ≤ x < 0.5
ψ(x) =
−1, kui 0.5 ≤ x < 1
⎪⎩
0, kui x ≥ 1
arenduse Fourier’ ritta komplekskujul, kusjuures trigonomeetrilise süsteemi periood
olgu 2l = 4.
Valemi (2.16.6) abil leiame, et
ja
= 1 4
+ 1 4
∫ 1
∫ 0
c k = 1 4
∫ 2
−2
−20 · exp (−ikπx/2) dx + 1 4
0.5(−1) · exp (−ikπx/2) dx + 1 4
= − 1
2kπi exp (−ikπx/2) ∣ ∣∣∣
0.5
ψ(x) exp (−ikπx/2) dx =
0
∫ 0.5
0
∫ 2
1
1 · exp (−ikπx/2) dx+
0 · exp (−ikπx/2) dx =
+ 1
2kπi exp (−ikπx/2) ∣ ∣∣∣
1
= 1 (− exp (−ikπ/4) + 1 + exp (−ikπ/2) − exp (−ikπ/4)) =
2kπi
c 0 = 1 4
= 1
2kπi (1 − exp (−ikπ/4))2 (k ∈ Z ∧ k ≠ 0)
∫ 2
−2ψ(x) exp (−i0πx/2) dx = 1 4
Valemi (2.16.7) abil saame soovitud reaksarenduse
∫ 2
−2
0.5
ψ(x)dx = 0.
=
ψ(x) ∼
∞∑
k=−∞, k≠0
1
2kπi (1 − exp (−ikπ/4))2 exp (ikπx/2) .
♦