MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.18. KOOSINUSTEISENDUS JA SIINUSTEISENDUS 137
Kasutades Euleri valemit (2.16.1), saame v~ordusest (2.18.1)
f(x) ∼ 1
2π
= 1
2π
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
= 1
2π
+ i
2π
=
dω
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
(cos (ωx) + i sin (ωx)) dω
∫ +∞
−∞
dω
dω
∫ +∞
−∞
f(t) (cos (ωt) − i sin (ωt)) dt =
f(t) (cos (ωx) + i sin (ωx)) (cos (ωt) − i sin (ωt)) dt =
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
f(t) (cos (ωx) cos (ωt) + sin (ωx) sin (ωt)) dt+
f(t) (cos (ωt) sin (ωx) − cos (ωx) sin (ωt)) dt =
[ funktsioon f(x) on reaalsete väärtustega funktsioon ⇒
⇒ imaginaarühiku i kordaja on 0
]
=
= 1
2π
= 1
2π
=
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
[∫ +∞
= 1 π
−∞
∫ +∞
0
dω
dω
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
f(t) (cos (ωx) cos (ωt) + sin (ωx) sin (ωt)) dt =
f(t) cos (ω (x − t)) dt =
f(t) cos (−ω (x − t)) dt =
dω
∫ +∞
−∞
S~onastame saadud tulemuse.
∫ +∞
−∞
f(t) cos (ω (x − t)) dt.
]
f(t) cos (ω (x − t)) dt =
Lause 1. Kui funktsioon f(x) on lokaalselt tükiti sile vahemikus (−∞, +∞)
ja absoluutselt integreeruv selles vahemikus, siis
f(x) ∼ 1 π
∫ +∞
0
dω
∫ +∞
−∞
f(t) cos (ω (x − t)) dt (2.18.2)
ja igas punktis x, milles f(x) on diferentseeruv, kehtib v~ordus
f(x) = 1 π
∫ +∞
0
dω
∫ +∞
−∞
f(t) cos (ω (x − t)) dt. (2.18.3)
Integraali
1
π
∫ +∞
0
dω
∫ +∞
−∞
f(t) cos (ω (x − t)) dt