MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

1.11. GLOBAALNE EKSTREEMUM 51
y = x + 1, y = 2 (x − 1) ja x + y = −1 määratud kolmnurgas
✻y
B(3;
4)
4
✁
y = x + 1
y = 2(x − 1)
1
❅
x
❅ ✁ ✁ ✁ ✁✁✁✁✁✁✁✁✁ P 4 (4/3; 2/3)
A(−1, 0)
P 1
(0; 0)
✲
−1
1 3
x + y = −1 ❅❅✁ ✁
C(1/3, −4/3)
( 1
Leiame kolmnurga tipud: A (−1; 0) , B (3; 4) , ja C
3 3)
; −4 . Statsionaarse
punkti leiame süsteemist:
{
zx = 0
z y = 0 ⇔ { 2x = 0
−2y = 0 ⇔ { x = 0
−y = 0 ⇒ P 1 (0; 0) .
Statsionaarne punkt P 1 kuulub kolmnurka ABC. Leiame, et z| P1 = 0. Kolmnurga
ABC raja jaotame kolmeks osaks: l~oigud AB, BC ja CA. Igal neist
l~oikudest uurime funktsiooni käitumist eraldi. Esiteks valime l~oigu AB. Selleks
tuleb uurida funktsiooni z| y=x+1 = x 2 − (x + 1) 2 = −2x − 1 ekstremaalseid
väärtusi l~oigul [−1; 3] . L~oigul diferentseeruv ühe muutuja funktsioon omandab
ekstremaalsed väärtused kas sellesse l~oiku kuuluvas statsionaarses punktis v~oi
l~oigu otspunktides. Et
dz| y=x+1
dx
= −2 ≠ 0 ⇒ statsionaarseid punkte ei ole,
siis tuleb leida funktsiooni z| y=x+1 väärtused l~oigu [−1; 3] otspunktides, st funktsiooni
z väärtused punktides P 2 (−1; 0) = A ja P 3 (3; 4) = B : z| P2 = 1 ja
z| P3 = −7. Analoogiliselt leiame l~oigu BC korral, et
z| y=2(x−1) = x 2 − (2x − 2) 2 = −3x 2 + 8x − 4
ja
dz| y=2(x−1)
= −6x + 8 ∧ −6x + 8 = 0 ⇒ x = 4 [ ] 1
dx
3 ∈ 3 ; 3 ,
( 4
P 4
3 ; 2 )
, z| P4 = 4 ( 1
3 3 , P 5
3 3)
; −4 , z| P5 = − 5 3 .