MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

226 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
68. ∫ Γ (3z − √ x 2 + y 2 )ds, kus Γ on x = t cos t, y = t sin t, z = t
(0 ≤ t ≤ 2π). V: 4 √ [ (1
2
) ]
+ 2π
2 3/2
− 1 /3.
69. Leidke punktide A(0; 0; 0) ja B(3; 3; 2) vahel paikneva kaare x = 3t, y = 3t 2
ja z = 2t 3 pikkus. V: 5.
70. Leidke joone x = e −t cos t, y = e −t sin t, z = e −t (0 < t < +∞) pikkus.
V: √ 3.
71. Leidke materiaalse joone x = a cos t, y = b sin t (0 ≤ t ≤ 2π) , joontihedusega
ρ(x, y) = |xy| , mass. V: 4ab ( a 2 + ab + b 2) / (3 (a + b)) .
72. Leidke joone x = at, y = at 2 /2, z = at 3 /3 (0 ≤ t ≤ 1) mass, kui joontihedus
ρ (x, y, z) = 2 √ 2y/a + 12z/a. V: 2a ( 3 √ 3 − 1 ) /3.
73. Leidke ühtlase tihedusega ρ ringjoonekujulise kujundi inertsmoment diameetri
suhtes (raadius R). V: πρR 3 .
74. Leidke ühtlase tihedusega ρ ringjoonekujulise kujundi inertsmoment ringjoone
keskpunkti suhtes (raadius R). V: 2πρR 3 .
75. Leidke joontihedusega ρ(x, y) = xy ellipsi x = a cos ϕ, y = b sin ϕ kaare
(0 ≤ ϕ ≤ π/2) inertsmoment diameetri, mis asub y-teljel, suhtes.
V: a 3 b ( 3b 5 − 5a 2 b 3 + 2a 5) (
/ 15 ( b 2 − a 2) ) 2
.
Ülesannetes 76–84 leidke teist liiki joonintegraal:
76. ∫ Γ y2 dx − xy dy, kus Γ on sirge x a + y = 1 sirgl~oik punktist (a; 0) punkti
b
(0; b). V: −ab 2 /2.
77. ∫ (
Γ x 2 − y 2) (x dx − y dy) , kus Γ on joone y = x 3 kaar punktide (0; 0) ja
(1; 1) vahel. V: 0.
78. ∫ sin y dx + sin x dy, kus Γ on sirgl~oik punktide (0; π) ja (π; 0) vahel. V: 0.
Γ
79. ∮ OmAnO arctan y x dy − dx, kus OmA on parabooli y = x2 kaar ja OnA on
sirge y = x l~oik. V: π/4 − 1.
80. ∫ y 3 dx − x 3 dy
Γ
(x 2 + y 2 2
, kus Γ on poolringjoon x = R cos t, y = R sin t
)
(t = 0 → t = π). V: −3π/4.
81. ∫ (2a − y)dx − (a − y)dy, kus Γ on tsükloidi x = a(t − sin t),
Γ
y = a(1 − cos t) esimene kaar (t = 0 → t = 2π). V: πa 2 .
82. ∫ x 2 dy − y 2 dx
Γ
x 5/3 + y , kus Γ on astroidi x = R 5/3 cos3 t, y = R sin 3 t veerand punktist
(R, 0) punkti (0, R). V: 3πR 3√ R/16.
83. ∫ ydx + xdy + (2x − y + z)dz, kus Γ on sirgl~oik punktist (−1; 1; −1) punkti
Γ
(2; 0; 3). V: 7.
84. ∫ Γ yzdx + z√ R 2 − y 2 dy + xydz, kus Γ on joone x = R cos t,
y = R sin t, z = at osa l~oikumisest tasandiga z = 0 l~oikumiseni tasandiga
2π
z = a. V: 0.
Ülesannetes 85–88 teisendage joonintegraal Greeni valemi abil, kusjuures Γ on
kinnine ∮ sile joon, mida läbitakse positiivses suunas:
85.
Γ (1 − x3 )ydx + x(1 + y 3 )dy. V: ∫∫ (
∮
D x 3 + y 3) dxdy.
86.
Γ (exy + 2x cos 2 y)dx + (e xy − x 2 sin y cos y)dy. V: ∫∫ D (y − x) exy dxdy.