MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

16 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
Näide 9. Skitseerime SWP abil funktsiooni
z = (cos x) (sin y) {(x, y) | (−5 ≤ x ≤ 5) ∧ (−5 ≤ y ≤ 5)}
nivoojooned (cos x) (sin y) = C (C = −0.5; 0; 0.5) :
.
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
. . .
y
✻
π
−3π/2 −π/2 π/2
.. .......... ...
.
..........
.. .......... ...
.
..........
.
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
. . .
.
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
. . .
.. .......... ...
.
..........
C = 1/2
C = 0
C = −1/2
3π/2 ✲x
−π
♦
1.2 Funktsiooni piirväärtus ja pidevus
Intuitiivselt m~oistame me oma eelnevate teadmiste p~ohjal, et arvu a nimetame
funktsiooni u = f (P ) piirväärtuseks punktis A, kui punkti P lähenemisel
punktile A funktsiooni väärtus läheneb arvule a. Paneme järgnevalt funktsiooni
piirväärtuse definitsiooni kirja matemaatiliselt korrektselt.
Definitsioon 1. Arvu α nimetatakse funktsiooni u = f (x 1 , . . . , x n )
piirväärtuseks punktis A(a 1 , . . . , a n ), kui arvu α suvalise ε-ümbruse
U ε (α) korral leidub selline punkti A(a 1 , . . . , a n ) δ-ümbrus U δ (A) , et
f (U δ (A) \A) ⊂ U ε (α) . Seda fakti tähistatakse lim f (P ) = α.
Seega
(
)
lim f (P ) = α ⇔
P →A
P →A
⇔ (∀ε > 0 ∃δ = δ (ε) : 0 < d (P, A) < δ ⇒ |f (P ) − α| < ε) .
Kui kasutada n muutuja funktsiooni u = f(P ) jaoks tähistust u = f(x), siis on
eelnev definitsioon kirja pandav kujul
(
)
lim f (a + ∆x) = α ⇔
∆x→0
⇔ (∀ε > 0 ∃δ = δ (ε) : 0 < |∆x| < δ ⇒ |f (a + ∆x) − α| < ε) ,
kusjuures
a =(a 1 , . . . , a n ), x = (x 1 , . . . , x n ) , ∆x = (∆x 1 , . . . , ∆x n ) , x = a+∆x.