Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern
Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern
Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
h 9 C Æ ¸ Å Å Ï C ? ¸ Â ¹ ¼ 9 > ¾ ¾ 9 ³ C : » ¹ Á<br />
L(s) =ˆL(ŝ) A C ¾<br />
h ? A Ç ? ¸ ¸ ³ C ì A Ã º Ê C ¾ ³ C ¾ ³ ë C 9 ³ > º 9 Ã º Ñ ¹ 9 ½ º ³ Ã ³ 9 C ˆt : 9 º h(t) =ˆt Å T (ŝ, ˆt) Ç Â ¸ ¹ º<br />
M Å<br />
¦ & 9 © ¥<br />
© : # & : & § & % % & ( & <br />
h ³ 9 C ³ ´ 9 : A ¸ ? º 9 Â C Ã > ³ ¸ ? º 9 Â C Ë ¼ 9 Ã µ ³ C M A C ¾ ˆM<br />
9 Ã º Å ² 9 ³<br />
? Ã ? ½ Ã º > ? 9 ³ > º ³ è Â ¾ ³ ¸ ¸ ¼ 9 > ¾ C A C ¾ A > µ ³ 9 C ³ C è Â ¾ ³ ¸ Á é ³ µ À 9 C ¹ Ï ¸ ¹ Â > 9 º : A Ã æ ¼ 9 ³<br />
²<br />
Å < Å 9 C Ð Â > ¹ ³ Ã º ³ ¸ ¸ º ê ¾ ? > ? A Ç 9 C È ½ ³ > Ô > È Ç º Ñ Â ½ ³ Ã ¾ 9 ³ ¹ ³ ¹ ³ ½ ³ C ³ ´ Ô ³ Ë 9 ë À ? º 9 Â C ³ 9 C Ê ¸ º Å<br />
Ë<br />
A > µ Ã µ > 9 º º ¼ ³ 9 Ã ³ Ã ì A > È µ À Ç È > ³ C Ð Â C ? ½ Ã º > ? À º ³ C ì A Ã º Ê C ¾ ³ C ? A Ç À Â C À > ³ º ³ ì A Ã º Ê C Á<br />
¾<br />
³ ¾ A > µ Ç È > ³ C Å · A C À º 9 Â C ½ ³ Ã µ > ³ 9 ½ º ¾ ³ C ¾ ? Ë A Ð Â C é ¸ ? > À ³ Ð ³ > ¼ ³ C ¾ ³ º ³ C Ï ¸ ¹ Â > 9 º Á<br />
¾<br />
T Ñ ¾ Å Å Img(S, T )={s ′ |s ∈ S ∧ T (s, s ′ )} Å<br />
u M X s F r F M K F K s a V H I s \ O F | F K ‚ F M O x M F _ ‚ F „ F M H I K F X F K \ ‚ O X V \ ‹ X F K z \ s ‹ K K F K r F I V F V F<br />
<br />
w K ‹ V F X F z \ s F ‹ w V V F O x w K s M F V F K ’<br />
‹<br />
94<br />
9 ¸ º Å Î C ¾ 9 ³ Ã ³ : · ? ¸ ¸ À » C C º ³ Æ ¸ ³ 9 µ A C ¹ Ð ³ > ¸ ³ º Ë º Ã ³ 9 C Å ² ? Ã À ? C C ? ½ ³ > C 9 µ º<br />
¹<br />
9 C º > ³ º ³ C Ñ ¾ ?<br />
³<br />
ŝ = h(s) C ¾ ¾ ? : 9 º A<br />
s |= f ∧ d ̸|= f ∧ h(d) =ŝ ⇔<br />
s |= f ∧ d ̸|= f ∧ h(d) =h(s)<br />
æ T ê<br />
² 9 ³ Ã ¼ 9 ¾ ³ > Ã Ô > 9 µ º ¾ ³ > ¢ Â C Ã º > A À º 9 Â C Ð Â C<br />
¸ 9 µ À ³ 9 º Ð Â C<br />
s ̸|= f ∧ d |= f ∧ h(d) =ŝ<br />
æ ê<br />
¹ ³ Ë ³ 9 ¹ º Å Ï A Ã ¾ ³ > C ³ > Ç È ¸ ¸ ½ ? > À ³ 9 º Ð Â C Æ ¸ Å A C ¾ Æ ¸ Å Ç Â ¸ ¹ º<br />
? 9 Ñ ¾ ? Ã Ã ¾ 9 ³ Ë A Ë ³ 9 ¹ ³ C ¾ ³ < ³ ¾ 9 C ¹ A C ¹ ³ > Ç È ¸ ¸ º 9 Ã º Å<br />
¾ : º<br />
È > ? ¸ ¸ ³ Å ·<br />
s, ŝ h(s) =ŝ : A Ã Ã ¹ ³ ¸ º ³ C ¤<br />
º 9 :<br />
t : 9 º T (s, t) ¹ 9 ½ º ³ Ã ³ 9 C ³ C ì A Ã º ? C ¾ ˆt : 9 º T (ŝ, ˆt) A C ¾ h(t) =ˆt Å<br />
· È > ú ³ ¾ ³ C ì A Ã º ? C ¾<br />
² ?<br />
¾ 9 > ³ À º ? A Ã ¾ ³ > ² ³ ë C 9 º 9 Â C Å<br />
´ Â : 9 º 9 Ã º ¹ ³ Ë ³ 9 ¹ º Ñ ¾ ? Ã<br />
³ º Ë º ³ C ? µ Ë A ¼ ³ 9 Ã ³ C ¾ ³ < ³ ¾ 9 C ¹ A C ¹ ? A Ã ² ³ ë C 9 º 9 Â C Ç Â ¸ ¹ º ³ ½ ³ C Ç ? ¸ ¸ Ã ¾ 9 > ³ À º ? A Ã ¾ ³ ><br />
¸<br />
 C à º > A À º 9  C ¾ ³ à ? ½ à º > ? À º ³ C è  ¾ ³ ¸ ¸ à 9 C ² ³ ë C 9 º 9  C Å Ï ¸ à  9 à º<br />
<br />
ˆM C ¾ ³ > 8 ? º ³ 9 C ³<br />
9<br />
´ 9 : A ¸ ? º 9 Â C Ð Â C<br />
³ C º ¼ ³ ¾ ³ > Ã µ ¸ ³ 9 Ç ³ C Ç > ³ 9 Ã ³ 9 C Ñ ¾ ? C C 9 Ã º<br />
Ĝ Ĝ È À À ? C C<br />
Ĝ Ë A > µ Å ¾ ¸ 9 µ ³ > . â ö Ü ¾ ³ > · Â > : Ñ Ñ<br />
(ŝ 1 ŝ 2 ... sˆ<br />
n ) Ñ Å<br />
C ³ C 9 ³<br />
Î Ã º ¾ ? Ã C 9 µ º ¾ ³ > · ? ¸ ¸ Ñ ¸ 9 ³ Ç ³ > º ¾ ³ > è Â ¾ ³ ¸ é ³ µ À ³ > ³ 9 C Æ ³ ¹ ³ C ½ ³ 9 Ã Ô 9 ³ ¸<br />
· Â > :<br />
Ĝ C ³ ñ Þ Ý ó â Ý Ñ 9 Ã º ¾ ? Ã Æ ³ ¹ ³ C ½ ³ 9 Ã Ô 9 ³ ¸ Ô > 9 C Ë 9 Ô 9 ³ ¸ ¸ A C ³ C ¾ ¸ 9 µ ¸ ? C ¹ A C ¾ ? º ¾ 9 ³<br />
(ŝ 1 ³ 9 Ñ Ñ<br />
Ñ<br />
ŝ 2 ... ŝ i )( s i+1 ˆ ... sˆ<br />
n ) ω Å<br />
Ĝ Ñ Ñ C ³ µ º ³ Ã Â ¾ ³ > ³ 9 C A C ³ µ º ³ Ã Æ ³ ¹ ³ C ½ ³ 9 Á<br />
9 ³<br />
¿ C º Ê ¸ º<br />
Ï ¸ Ã C Ê µ Ã º ³ Ã :<br />
A Ã Ã ³ > À ? C C º ¼ ³ > ¾ ³ C Ñ Â ½<br />
Ã Ô 9 ³ ¸ 9 à º Å ù 9 ³ > ½ ³ 9 ¼ 9 > ¾ Ë A C Ê µ à º Ð Â C Æ ³ ¹ ³ C ½ ³ 9 Ã Ô 9 ³ ¸ ³ C  C ³ ´ µ ¸ ³ 9 Ç ³ C ? A à ¹ ³ ¹ ? C ¹ ³ C Å<br />
& : & § & % % & ( & # ¥ & ¥ ( & % & ¿ 9 C Æ ³ ¹ ³ C ½ ³ 9 Ã Ô 9 ³ ¸ Â C ³ ´ µ ¸ ³ 9 Ç ³ 9 Ã º ¾ ? C C ³ 9 C A C Á<br />
<br />
µ º ³ Ã Æ ³ ¹ ³ C ½ ³ 9 Ã Ô 9 ³ ¸ Ñ ¼ ³ C C ³ Ã Ë A ¾ ³ : ¹ ³ ¸ 9 ³ Ç ³ > º ³ C î Ç ? ¾<br />
³<br />
(ŝ 1<br />
Ñ<br />
Ñ<br />
ŝ 2 ... sˆ<br />
n ) Â C Ð Ñ<br />
? ½ Ã º > ? À º ³ C<br />
A Ã º Ê C ¾ ³ C õ Ý ó ä Ý ä À Â > > ³ Ã Ô Â C ¾ 9 ³ > ³ C ¾ ³ C î Ç ? ¾ : 9 º A C ? ½ Ã º > ? 9 ³ > º ³ C ì A Ã º Ê C ¾ ³ C ¹ 9 ½ º Å<br />
ì<br />
9 ³ è ³ C ¹ ³ ? ¸ ¸ ³ > î Ç ? ¾ ³ ¾ ³ Ã A C ? ½ Ã º > ? 9 ³ > º ³ C è Â ¾ ³ ¸ ¸ Ã Ñ ¾ 9 ³ Ë A ³ 9 C ³ : î Ç ? ¾<br />
²<br />
(ŝ 1 ŝ 2 ... sˆ<br />
n )<br />
h −1 (ŝ 1 , ŝ 2 ,..., sˆ<br />
n )=<br />
{<br />
(s 1 ,s 2 ,...,s n )|<br />
n∧<br />
i=1<br />
}<br />
n−1<br />
∧<br />
h(s i )=ŝ i ∧ I(s 1 ) T (s i ,s i+1 )<br />
i=1<br />
æ ¡ ê<br />
? ½ Ã º > ? 9 ³ > º ¼ ³ > ¾ ³ C Ñ 9 Ã º ¹ ³ ¹ ³ ½ ³ C ¾ A > µ <br />
: 9 º ³ 9 C ³ : 8 ³ Ã º ? A Ç<br />
Ĝ 9 º 9 º ¸ Â ¸ 9 ³ ³ º C<br />
h −1 ³ (Ĝ) µ º Ã Ñ Ã ? Ã ¹ ³ µ ½ ¾ A ³ ¾<br />
≠ ¸ Ê Ã Ã º Ã 9 µ ³ 9 C Ç ? µ <br />
−1<br />
h (Ĝ) C Â Ð ¹ C A C µ ³ > ³ < ³ 9 ² ∅Å<br />
² 9 ³ C º ³ > Ã A µ A C ¹ Ñ Â ½ ³ 9 C Æ ³ ¹ ³ C ½ ³ 9 Ã Ô 9 ³ ¸<br />
º 9 Â C Ã Ç A C À º 9 Â C<br />
h −1 (ŝ) Ã : À ³ > Ç A C À º 9 Â C ¾ ³ > Ï ½ Ã º > ? À Á<br />
h(s) ? h<br />
¸ ë C 9 ³ > º Ñ ¾ 9 ³ ? A Ç ¹ > A C ¾ ¾ ³ > Ë A Ã ? : : ³ C Ç ? Ã Ã ³ C ¾ ³ C Ö 9 > À A C ¹ Ð Â C<br />
h −1 (ŝ) ={s|h(s) =ŝ} ¾ Img(S, T )<br />
³ Å<br />
S Ë Â ¹ ³ C ³ ½<br />
: A Ã ¢ ¤ ! ¦ § © § 9 C î Ã ³ A ¾ Â µ Â ¾ ³ Å ² ? ½ ³ 9 9 Ã º<br />
ú ³ ¼ ³ 9 ¸ Ã ³ 9 C ³ è ³ C ¹ ³ Ð Â C ì A Ã º Ê C ¾ ³ C ¸ 9 ³ Ç ³ > C À ? C C ¤<br />
9 Ã º ¾ ? Ã ¢ # 9 § $ 9 <br />
§ % ( % Ð Â C ¾ ³ > ì A Ã º ? C ¾ Ã : ³ C ¹ ³<br />
? A Ç ¾ 9 ³ 8 > ? C Ã 9 º 9 Â C Ã > ³ ¸ ? º 9 Â C