Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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Betrachtet man Bitvektoroperationen genauer, so fällt auf, dass die bitweise
Negation NOT zu Problemen führt. Da die Binärkodierung jeder natürlichen
Zahl nämlich nur endlich viele Einsen enthält, enthält die negierte Binärkodierung
einer natürlichen Zahl unendlich viele Einsen und stellt damit nicht mehr
die Kodierung einen natürlichen Zahl dar. Für die Untersuchung der Definierbarkeit
von Bitvektoroperationen in Presburger-Arithmetik muss daher die Erweiterung
der Presburger-Arithmetik auf ganze Zahlen und deren Zweierkomplement-
Kodierung betrachtet werden.
5.1 Presburger-Arithmetik auf ganzen Zahlen
Definition 21 (Presburger-Arithmetik auf ganzen Zahlen). Presburger Z -
Arithmetik ist Presburger-Arithmetik auf ganzen Zahlen. Die Menge der Presburger
Z -Terme Term PresburgerZ ist die Menge der Variablen x : → Z. Die Menge
der Presburger Z -Formeln ist die kleinste Menge mit
– ADD Z (x, y, z) ∈ Presburger Z für alle Terme x, y, z ∈ Term PresburgerZ
– ≥ 0 (x) ∈ Presburger Z für alle Terme x ∈ Term PresburgerZ
– x . = y ∈ Presburger Z für alle Terme x, y ∈ Term PresburgerZ
– ¬ϕ ∈ Presburger Z für jede Formel ϕ ∈ Presburger Z
– ϕ ∧ ψ ∈ Presburger Z für alle Formeln ϕ, ψ ∈ Presburger Z
– ∃x.ϕ ∈ Presburger Z für jede Variable erster Stufe x : → Z und jede Formel
ϕ ∈ Presburger Z
Presburger Z -Formeln und -Terme werden nur über den ganzen Zahlen ausgewertet.
Sei ξ eine Belegung. Da ausschließlich Variablen erster Stufe Presburger
Z -Terme darstellen, ist die Bedeutung x ξ eines Terms x ∈ Term PresburgerZ
in einer Belegung ξ ist gegeben durch x ξ := ξ(x). Die Bedeutung ϕ ξ einer
Presburger Z -Formel ϕ ist gegeben durch:
– ¬ϕ ξ :⇔ nicht ϕ ξ
– ADD Z (x, y, z) ξ :⇔ x ξ + y ξ = z ξ
– ≥ 0 (x) ξ :⇔ x ξ ≥ 0
– x . = y ξ :⇔ x ξ = y ξ
– ϕ ∧ ψ ξ :⇔ ϕ ξ und ψ ξ
– ∃x.ϕ ξ :⇔ es gibt ein z ∈ Z mit ϕ ξ z x
Es fällt auf, dass gegenüber Presburger N -daszusätzliche Prädikat > 0 in Presburger
Z -Arithmetik erlaubt ist. Dies ist nötig, da sonst Presburger Z -Arithmetik
nicht zwischen positiven und negativen Zahlen unterscheiden könnte, d. h. eine
Belegung ξ erfüllt eine beliebige Presburger Z -Formel ϕ ohne ≥ 0 genau dann,
wenn die Belegung ξ − , die gegeben ist durch ξ − (x) := −ξ(x) für alle x, die
Formel ϕ erfüllt. Dies lässt sich leicht durch Induktion über den Aufbau zeigen.
Ohne ≥ 0 können also wichtige Funktionen, wie Konstanten für die ganzen
Zahlen, oder Prädikate wie > nicht definiert werden. Mit diesem Prädikat ist